期待値とは

まず押さえる結論

期待値は、統計検定2級の「第3章 確率分布」で確認しておきたい用語です。見分けの要点は、算術平均は観測された値を同じ重みで合計して個数で割ります。期待値は確率変数が取り得る値へ、それぞれの発生確率を重みとして掛けて足します。順列は異なる対象を順序を区別して並べる場合の数であり、確率変数の代表的な値を求める期待値とは目的も計算対象も異なります。

具体例から判断の境界を固める

起こり得る値を単純に並べるのではなく、それぞれの確率で重み付けした平均として捉える

賞金0円を確率0.5、100円を確率0.3、500円を確率0.2で受け取るくじなら、それぞれの賞金へ対応する確率を掛け、0×0.5＋100×0.3＋500×0.2を計算します。この130円が1回の当選額を保証するわけではなく、同じ条件を多数回繰り返したときの1回当たりの長期的な平均を表します。

問題文で見る箇所

「各値に確率を掛ける」「確率で重み付けした平均」「長期的な平均」という記述があれば期待値を候補にします。対象の並べ方の数、観測データの中央、最も頻繁な値を問う場合は別の概念です。

隣接概念との境界

算術平均は観測された値を同じ重みで合計して個数で割ります。期待値は確率変数が取り得る値へ、それぞれの発生確率を重みとして掛けて足します。順列は異なる対象を順序を区別して並べる場合の数であり、確率変数の代表的な値を求める期待値とは目的も計算対象も異なります。

誤答しやすい選択肢

• 期待値を、一回の試行で必ず得られる値として扱う。期待値は同じ確率構造の試行を多数回繰り返したときの長期的な平均を表します。
• 取り得る値を確率に関係なく足して個数で割る。それは同じ重みの算術平均であり、期待値では各値へ対応する確率を掛けます。
• 対象を順序付きで並べる方法の数を期待値と呼ぶ。それは順列の問題であり、期待値は確率変数の値を確率で重み付けして求めます。

4段階の判断手順

1. 01問題文から確率変数が取り得る値と、それぞれの発生確率を対応させる。
2. 02各値へ対応する確率を掛け、その結果を合計する。
3. 03確率の合計が1になっているか確認する。
4. 04求めた値を一回の結果の保証ではなく、長期的な平均として解釈する。

到達条件: 期待値を確率で重み付けした平均として説明し、算術平均・順列・一回の結果との違いを言える。

試験での問われ方

誤答しやすいポイント

「第3章 確率分布」の問題で、取り違えやすい組み合わせです。

• 二項分布とポアソン分布の使い分け。二項分布は成功/失敗の試行回数が決まる場面、ポアソン分布は一定時間・領域内の発生回数のモデル。
• 正規分布と標準正規分布の混同。標準正規分布は平均0・分散1の正規分布。
• 確率密度関数の値そのものを確率と取り違える。連続分布では区間の面積が確率になる。

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