統計検定2級 第3章 確率分布 予想問題と解説

正解は「二項分布」である。二項分布は、成功・失敗の2通りの結果をもつ独立な試行を一定回数繰り返したときの、成功する回数そのものを表す確率分布であり、とりうる値が0,1,2などの整数に限られる離散型の分布である。正規分布は連続する値をとる連続型の分布であり、成功回数のような整数の個数を直接表す分布ではない。指数分布も連続型の分布で、次の出来事が起こるまでの時間間隔などを表す用途の分布であり、試行回数中の成功回数とは表す対象が異なる。標準正規分布は正規分布のうち平均0・分散1のものを指す特別な形であり、これも連続型であって成功回数を表す分布ではない。

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正解は「標準正規分布」である。標準正規分布は、正規分布のうち平均0、分散1という特定の条件を満たすものを指し、一般の正規分布は標準化という操作によって標準正規分布に変換して扱うことができる。ポアソン分布は一定期間や範囲内に起こる出来事の回数を表す離散型の分布であり、平均0・分散1という条件で定まる分布ではない。二項分布も成功回数を表す離散型の分布であり、平均や分散の値によって形が変わるが、平均0・分散1の正規分布そのものを指す名称ではない。カイ二乗分布は標本分布や検定の場面で使われる分布であり、正規分布とは形も用途も異なる。

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正解は「ポアソン分布」である。ポアソン分布は、一定時間や一定領域内で起こる事象の発生回数を表す離散型確率分布として使われる。正規分布、一様分布、指数分布はいずれも連続型確率分布であり、発生回数のような離散的な個数を直接表す分布ではない。 数える対象が非負整数の発生回数であることと、観測枠が一定時間・一定領域であることを同時に確認すると、連続量を扱う3分布と区別できる。 数える対象が非負整数の発生回数であることと、観測枠が一定時間・一定領域であることを同時に確認すると、連続量を扱う3分布と区別できる。回数と待ち時間を取り違えないことが、この設問の中心になる。

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正解は「確率密度関数の区間上の面積として確率を考える」である。連続型確率分布では、ある1点を取る確率ではなく、区間に対応する確率密度関数の面積として確率を考える。確率密度関数の値そのものを確率とみなすのは誤り。二項分布は離散型分布であり、中央値だけで区間確率が決まるわけでもない。 選択肢ごとの差は次のように整理できる。「確率密度関数の1点での値そのものを確率とみなす」は誤答側で、誤答。「確率密度関数の1点での値そのものを確率とみなす」のは誤りで、連続型確率分布ではある1点を取る確率ではなく区間の面積として確率を考える。「必ず二項分布に変換して成功回数を数える」は誤答側で、誤答。「必ず二項分布に変換して成功回数を数える」必要はない。二項分布は離散型分布であり、連続型確率分布の区間確率を求める説明ではない。「中央値だけを使えば区間確率が決まる」は誤答側で、誤答。「中央値だけを使えば区間確率が決まる」わけではない。中央値は分布の代表値の一つであり、区間に対応する確率密度関数の面積を表すものではない。「確率密度関数の区間上の面積として確率を考える」は正解側で、正解。連続型確率分布では、ある1点を取る確率ではなく、区間に対応する「確率密度関数の区間上の面積として確率を考える」。

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正解は「標準化」である。標準化は、値から平均を引き、標準偏差で割ることで、正規分布を標準正規分布として扱える形に変換する処理である。層別は集団を層に分けること、無作為抽出は標本の選び方、適合度検定は分布への当てはまりを調べる検定である。 選択肢ごとの差は次のように整理できる。「標準化」は正解側で、正解。「標準化」は、値から平均を引き、標準偏差で割ることで正規分布を標準正規分布として扱える形に変換する処理である。「層別」は誤答側で、誤答。「層別」は調査対象の集団をいくつかの層に分ける手法であり、正規分布を標準正規分布に変換する処理ではない。「無作為抽出」は誤答側で、誤答。「無作為抽出」は母集団から標本を偏りなく選び出す方法であり、正規分布を標準正規分布に変換する処理ではない。「適合度検定」は誤答側で、誤答。「適合度検定」は観測データの分布への当てはまりを調べる検定であり、正規分布を標準正規分布に変換する処理ではない。

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正解は「ベルヌーイ分布」である。ベルヌーイ分布は、1回の試行で成功(確率p)か失敗(確率1-p)かの2通りの結果だけをとる、最も単純な離散型確率分布である。二項分布は、このベルヌーイ試行をn回繰り返したときの成功回数が従う分布であり、1回の試行ではなく複数回の試行を前提とする点で設問の条件とは異なる。正規分布は平均を中心に左右対称な連続型確率分布、指数分布は次の事象が起こるまでの待ち時間を表す連続型確率分布であり、いずれも連続量を扱うため、成功・失敗という2値の離散的な結果を問う設問には当てはまらない。F分布は2つの分散の比が従う分布であり、分散分析など標本分布の文脈で用いられるため、1回の試行結果そのものを表す分布ではない。

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正解は「二項分布は成功回数、ポアソン分布は一定時間や領域内の発生回数を表す場面で使われる」である。二項分布は、成功/失敗の試行を一定回数行ったときの成功回数を表す場面で使われる。ポアソン分布は、一定時間や一定領域内の発生回数を表す場面で使われる。どちらも離散型確率分布であり、相関係数や回帰係数の別名ではない。試行回数が決まった成功回数なのか、時間・領域を区切った発生回数なのかを読み分ける。区間推定や回帰係数は確率分布の使い分けではなく、連続型・標準正規分布という分類も両者に当たらない。

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正解は「一様分布」である。一様分布は、区間[a,b]の中でどの値も同じ確率密度1/(b-a)をとる連続型確率分布であり、「ある区間内のどの値も同じように起こりやすい」という設問の条件に直接対応する。二項分布とベルヌーイ分布は、成功・失敗の試行回数という整数値だけをとる離散型確率分布であり、区間内の連続的な値を対象とする一様分布とは分布の型そのものが異なる。カイ二乗分布は連続型分布ではあるが、標準正規分布に従う変数の2乗和として定義されるため0以上の値に偏った非対称な形をとり、確率密度が区間内で一定になる一様分布とは形状が異なる。したがって、区間全体で確率密度が等しいという条件を満たすのは一様分布だけである。

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正解は「平均を中心に左右対称の形をとる連続型確率分布である」である。正規分布は、平均μを中心とした左右対称な釣り鐘型の形をとり、平均と分散(標準偏差)の2つのパラメータによって形が定まる連続型確率分布である。「成功/失敗の1回の試行だけを表す離散型確率分布」はベルヌーイ分布の説明であり、連続型で対称な形をとる正規分布とは分布の型が異なる。「クロス集計表の期待度数だけを表す表」は、カイ二乗検定で帰無仮説のもとに想定される期待度数の説明であり、分布ではなく個々のセルの値を表す。「回帰直線の傾きを表す係数」は回帰係数の説明であり、単回帰分析で求める1つの数値であって、確率変数のとる値全体の分布を表す正規分布とは対象がまったく異なる。

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正解は「期待値は平均的な値、分散はその値のばらつきを表す」である。期待値は確率変数がとる値を確率で重み付けした平均であり、分散はそれぞれの値が期待値からどれだけ離れているかを2乗して平均した、ばらつきの大きさを表す量である。期待値と中央値は一般に一致するとは限らず、分布が左右非対称であればずれが生じるため、「期待値は必ず中央値と同じ」という説明は成り立たない。また分散は確率変数にばらつきがある限り正の値をとり、常に0になるわけではない。相関係数は2変数の直線的な関係の強さを表す指標、回帰直線の傾きは回帰係数であり、いずれも1つの確率変数の期待値・分散とは対象が異なる。カテゴリ変数の度数も、平均やばらつきとは異なる集計値である。

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正解は「一定時間や一定領域内で起こる事象の発生回数を扱う場面」である。ポアソン分布は、一定時間や一定領域内で起こる事象の発生回数を表す離散型確率分布として使われる。平均0、分散1の連続型分布は標準正規分布のことを指し、2つの量的変数の相関係数だけを求める場面や、箱ひげ図で四分位数だけを表示する場面とは、扱う対象も分析の目的も明らかに異なるため区別して理解する必要がある。 確率分布は変数の型と観測対象で選ぶ。平均0・分散1の連続変数は標準正規分布である。相関係数と箱ひげ図は確率分布の選択ではない。区間内の電話件数など、発生回数という非負整数を扱う条件がポアソン分布に対応する。

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正解は「ベルヌーイ分布は1回の成功・失敗、二項分布はその独立な試行を複数回行った成功回数を扱う」である。ベルヌーイ分布は成功または失敗の2通りをとる1回の試行を表し、二項分布はそのような独立な試行を一定回数行ったときの成功回数を表す。ベルヌーイ分布は連続型分布や標準正規分布ではなく、回帰分析や相関係数の別名でもなく、母分散や信頼係数だけを表す言葉でもなく、いずれも確率分布としての性質が異なる別の概念である。成功・失敗という結果は共通だが、1回の試行か、独立な試行を複数回繰り返した成功回数かが違う。この回数の関係を説明する選択肢を選ぶ。

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正解は「区間に対応する面積によって、その区間に値が入る確率を表す」である。連続型確率分布では、確率密度関数の曲線の下の面積が区間の確率に対応する。一点での高さをそのまま確率として読む考え方は誤りで、面積として捉える点が特徴である。期待度数はカイ二乗検定などカテゴリカルデータの分析で使う値であり、確率密度関数とは無関係である。また非標本誤差は標本調査で生じる誤差であり、確率密度関数の役割とは別の概念である。 連続型では一点の確率と区間の確率を分ける。密度関数の高さそのものは確率ではなく、指定区間で曲線の下を積分した面積がその区間の確率になる。期待度数や非標本誤差は別の分析・調査概念である。

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正解は「連続型確率分布の一つで、時間間隔などを扱う場面で用いられる」である。指数分布は連続型確率分布の一つであり、時間間隔などを扱う場面で用いられる。成功回数だけを扱う代表的な離散型確率分布は二項分布であり、2つのカテゴリ変数の集計はクロス集計表、回帰モデルの説明力を示す指標は決定係数であって、いずれも指数分布とは異なる概念であり、離散型と連続型の違いも含めて区別しておきたい。指数分布を見分けるには、値が連続的な時間間隔である点を見る。回数、カテゴリの集計表、回帰の指標はデータの型と用途が異なる。

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正解は「平均と標準偏差の異なる正規分布を、標準化によって共通の尺度で扱えるようにするため」である。正規分布に従う変数は、平均と標準偏差を用いて標準化すると標準正規分布として扱え、元の平均や標準偏差が異なる変数でも共通の基準で比較しやすくなる。判断の中心は、変換前が正規分布、操作が標準化、変換後が標準正規分布という対応である。二項分布への変換、相関係数の変更、標本誤差と非標本誤差の統一は、この変換の目的にも結果にも含まれない。問題文の「共通の尺度」に対応する選択肢だけを残せばよい。

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正解は「成功または失敗の2通りの結果をもつ独立な試行を一定回数行う」である。二項分布は、各試行の結果が成功・失敗の二通りで、試行が独立し、一定回数を繰り返したときの成功回数を表す離散型確率分布である。任意の連続値が同じ確率密度をもつのは一様分布の説明であり、連続型と離散型が異なる。標本平均は標本により変動するため母平均へ必ず一致せず、クロス集計表はカテゴリ変数の組合せを集計する表である。結果の種類、試行間の関係、回数という三条件を確認する。

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正解は「どちらも回数のような離散的な値をとる確率変数を扱うから」である。ポアソン分布と二項分布は、発生回数や成功回数のような離散的な値をとる確率変数を扱う離散型確率分布である。正規分布のような連続的な値をとる連続型確率分布、2変数の関係を表す相関係数、区間推定で使う信頼係数とは、対象とする値の種類や役割が異なる。 確率分布の型は取り得る値で分類する。二項分布の成功回数とポアソン分布の発生回数はいずれも0以上の整数という可算な値を取る。連続分布の対称性、相関係数、信頼係数は分類根拠にならない。

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正解は「確率変数の値が期待値の周りでどの程度ばらつくか」である。確率分布の分散は、確率変数の値が期待値の周りでどの程度ばらつくかを表す。値が期待値付近に集まりやすいか、広く散らばりやすいかを見るための量である。分散は標本を無作為に選んだ人数そのものではなく、2つのカテゴリ変数の自由度そのものでもなく、回帰直線の傾きそのものでもなく、これらは分散とは別の指標として区別して理解する必要がある。 分散は偏差の二乗の期待値として、分布の中心からの広がりを数量化する。抽出人数は標本サイズ、カテゴリ表の自由度は制約下の情報量、回帰直線の傾きは説明変数1単位の変化に対応する予測変化であり、分布の散らばりではない。

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正解は「一様分布は区間内の値が同じように起こりやすく、正規分布は平均を中心に左右対称の形をとる」である。一様分布と正規分布はいずれも連続型確率分布だが、確率密度の形が異なる。一様分布は区間内で値が同じように起こりやすく、正規分布は平均付近が高く左右対称になる。成功回数や発生回数は離散型分布の対象であり、クロス集計表は表、自由度は分布を定める値、相関係数は二変数の関係を表す指標である。分布の形を説明しているかで見分ける。区間内で高さがそろう形と、平均付近が高くなる形を言葉で対応させる。

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正解は「確率密度関数の下の面積が区間の確率に対応するため」である。連続型確率分布では、確率密度関数の下の面積によって区間の確率を考えるため、一点の高さをそのまま確率として読むのではなく区間で捉える。期待値は連続型確率分布でも定義できる概念であり、定義できないという説明は誤りである。連続型確率分布は二項分布のような離散型確率分布と常に同じになるわけではなく、確率密度関数は相関係数の別名でもない。 連続型では個々の一点が取られる確率は0で、密度の高さ自体も確率ではない。範囲で積分した曲線下面積が確率になる。期待値は連続型でも定義でき、二項分布や相関係数への読み替えはできない。

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正解は「成功または失敗の2通りをとる1回の試行を確率変数として扱う」である。ベルヌーイ分布は、成功または失敗の2通りをとる1回の試行を確率変数として扱う離散型確率分布であり、その確率変数について期待値や分散を考える。連続型確率分布の区間面積だけを扱うという前提、標本平均の信頼区間だけを扱うという前提、単回帰分析の残差だけを扱うという前提は、いずれも扱う対象が異なり誤りである。ベルヌーイ分布の前提を「1回の試行」として説明しているかで見分ける。

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正解は「一定回数の試行における成功回数が、期待値の周りでどの程度ばらつくかを見る」である。二項分布では、ベルヌーイ分布に従う試行を一定回数、独立に繰り返したときの成功回数を扱う。分散は、その成功回数が期待値の周りでどの程度ばらつくかを表す指標である。平均が0、分散が1の正規分布は標準正規分布を指す別の概念であり、カテゴリ変数の自由度や回帰係数の符号を見ることとも異なる。二項分布の分散を、成功回数のばらつきという観点として説明しているかで見分ける。

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正解は「平均0、分散1の正規分布である」である。標準正規分布は、平均0、分散1の正規分布であり、正規分布に従うデータを標準化することで得られる。成功または失敗の1回の試行を表すのはベルヌーイ分布であり、標準正規分布とは扱う内容が異なる。カテゴリ変数の集計を表すクロス集計表や、説明変数が複数ある回帰分析である重回帰分析も、いずれも標準正規分布とは別の概念である。 分布・表・分析法を分類する。ベルヌーイ分布は一回の二値試行、クロス集計表はカテゴリ度数、重回帰は複数説明変数のモデルである。正規変数を平均で中心化し標準偏差で尺度調整した分布が標準正規分布である。

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正解は「指数分布は連続型確率分布、ポアソン分布は発生回数を扱う離散型確率分布である」である。指数分布は確率密度関数で表される連続型確率分布であり、ポアソン分布は一定時間や領域内の発生回数を扱う離散型確率分布である。どちらも相関係数の別名ではなく、母平均の検定や箱ひげ図を表す語でもない。また標本誤差・非標本誤差はデータ収集の際に生じる誤差を指す語であり、確率分布の名称とは異なる。指数分布とポアソン分布を、連続型か離散型かという分布の型で区別しているかで見分ける。

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正解は「正規分布の値を平均と標準偏差で変換し、標準正規分布として扱う」である。正規分布に従う値は、平均を引いて標準偏差で割る標準化を行うことで、平均0・分散1の標準正規分布として扱える。二項分布やポアソン分布は離散型確率分布であり、連続型確率分布である正規分布の標準化とは対象が異なる。クロス集計表の自由度はカイ二乗検定で使う値であり、標準化の変換とは無関係である。回帰直線の残差は回帰分析における予測値と実測値の差であり、標準化によって必ず0になるものではない。標準化の対象が連続型確率分布である正規分布であり、変換に使うのが平均と標準偏差であるという条件を先に固定し、離散型確率分布・自由度・残差という別の章の用語と混同していないかを確認する。

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正解は「ベルヌーイ分布は1回の成功・失敗、ポアソン分布は一定時間や領域内の発生回数を扱う」である。ベルヌーイ分布は1回の試行における成功・失敗を扱う離散型確率分布であり、ポアソン分布は一定時間や一定領域内で起こる事象の発生回数を扱う離散型確率分布である。ベルヌーイ分布を連続型分布や標準正規分布とする説明、両分布を相関係数や回帰係数の別名とする説明、どちらも母平均の信頼区間だけを表すとする説明は、いずれも定義と異なり誤りである。両分布とも「とびとびの値」を扱う点で共通する離散型確率分布である。

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正解は「成功回数や発生回数のように、とびとびの値をとるもの」である。離散型確率分布は、ベルヌーイ分布や二項分布、ポアソン分布のように、成功回数や発生回数のようなとびとびの値をとる確率変数を扱う。区間内のすべての実数値を扱うのは連続型確率分布の特徴であり、回帰直線の図は単回帰分析、箱ひげ図のひげはデータの散らばりを表す図であって、いずれも離散型確率分布の説明ではない。 離散型か連続型かは取り得る値の集合で区別する。0回、1回、2回のように可算な値を取るのが離散型で、区間内の任意の実数を取るのは連続型である。回帰直線や箱ひげ図の部品は確率変数の値域ではない。

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正解は「平均と標準偏差」である。正規分布の値を標準化して標準正規分布として扱うときは、平均と標準偏差を使う。この考え方は偏差値の算出や変動係数の考え方にも通じる。中央値と最頻値は1変数データの代表値、期待度数と自由度はカイ二乗検定、回帰係数と残差は単回帰分析で使う量であり、いずれも標準化の操作とは異なる文脈で使われる。 正規変数Xを標準正規変数Zへ変換する式はZ=(X−平均)/標準偏差である。中央値・最頻値は代表値、期待度数・自由度はカイ二乗検定、回帰係数・残差は回帰分析で使うため、標準化の中心化と尺度調整には用いない。

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正解は「区間内の値が同じように起こりやすいと考える連続型確率分布である」である。一様分布は、区間内の値が同じように起こりやすいと考える連続型確率分布であり、確率密度関数が一定の値をとる。1回の試行で成功か失敗だけを扱うのはベルヌーイ分布であり、クロス集計表の独立性はカイ二乗検定、説明変数どうしの相関は多重共線性など回帰分析の文脈で扱う話であって、いずれも一様分布の説明ではない。確率密度関数の値がどの位置でも一定という性質が、一様分布ならではの特徴である。

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正解は「連続型確率分布では、区間に対応する面積が確率を表すため」である。連続型確率分布では、確率密度関数の高さそのものではなく、曲線の下の面積が区間の確率に対応する。正規分布や一様分布、指数分布などの期待値は連続型確率分布でも定義でき、定義できないというのは誤りである。確率密度関数はクロス集計表で表す概念ではなく、相関係数の符号だけを表す量でもない。 確率密度は一点付近への集中度を表し、その高さ自体は無次元の確率とは限らない。連続型では一点を取る確率は0で、区間の曲線下面積が確率となる。期待値は密度から定義でき、クロス集計や相関係数とは別概念である。 比較対象には「確率密度関数では期待値を定義できないため」、「確率密度関数は必ずクロス集計表で表すため」、「確率密度関数は相関係数の符号だけを表すため」も含まれる。

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正解は「各試行の結果が他の試行の成功確率を変えないと考えるため」である。二項分布では、成功または失敗の2通りをとる試行を一定回数行い、各試行の結果が他の試行の成功確率を変えない、つまり独立であることを前提に成功回数を考える。二項分布は離散型確率分布であり、正規分布のような連続型確率分布とは前提が異なる。また試行の結果を扱う際にクロス集計表を用いる必要はなく、各試行が必ず正規分布に従うという前提も置かない。 二項分布は一定回数nの試行で、各回が成功・失敗の二値、成功確率pが一定、試行が独立という条件から成功回数を扱う。各結果が次回のpを変えるなら同じ二項モデルで数えられない。連続分布・クロス表・正規分布は独立性の理由ではない。

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正解は「一定時間や領域内で平均的にどの程度発生するかを表す値」である。ポアソン分布では、一定時間や領域内の発生回数を扱う離散型確率分布であり、期待値はその発生回数が平均的にどの程度になるかを表す値であって、発生回数が必ず0になることを意味しない。確率密度関数は連続型確率分布で使う概念、決定係数は回帰分析の説明力を表す指標であり、いずれも期待値の解釈とは異なる。 ポアソン分布の期待値は、1回の観測で必ず得る回数ではなく、同じ時間・領域で観測を繰り返したときの発生回数の長期平均として解釈する。 ポアソン分布の期待値は、1回の観測で必ず得る回数ではなく、同じ時間・領域で観測を繰り返したときの発生回数の長期平均として解釈する。

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正解は「分布の中心位置や広がりが変わる」である。正規分布では、平均が中心位置、分散が広がりに関係し、これらが変わると分布の位置や形の広がりが変わる。標準化して標準正規分布として扱う際にもこの平均と分散を用いる。クロス集計表の自由度やベルヌーイ分布の成功回数は別の概念であり、正規分布の平均や分散を変えても帰無仮説が不要になるわけではない。 正規分布では平均が横軸上の中心を、分散が中心からの散らばりを決めるため、片方だけでなく位置と広がりの両方を読む。 正規分布では平均が横軸上の中心を、分散が中心からの散らばりを決めるため、片方だけでなく位置と広がりの両方を読む。

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正解は「連続型は区間内の連続的な値、離散型は回数のようなとびとびの値を扱う」である。連続型確率分布は区間内の連続的な値を扱い、離散型確率分布は回数のようなとびとびの値を扱う。どちらの分布でも期待値や分散を考えることができ、片方だけが期待値や分散を考えないわけではない。連続型・離散型のいずれもクロス集計表や回帰直線で必ず表されるわけではなく、相関係数だけを表すものでもない。値の取り方が連続的かとびとびかという違いは、期待値や分散の有無ではなく、確率変数がとりうる値の性質に関わる区別である。

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この事例では「成功・失敗の二値をとる一試行か」を確認すると、成功または失敗の2通りをとる1回の試行を確率変数として扱うに絞れる。正解は「成功または失敗の2通りをとる1回の試行を確率変数として扱う」である。ベルヌーイ分布は、成功または失敗の2通りをとる1回の試行を確率変数として扱う離散型確率分布であり、その確率変数について期待値や分散を考える。連続型確率分布の区間面積だけを扱うという前提、標本平均の信頼区間だけを扱うという前提、単回帰分析の残差だけを扱うという前提は、いずれも扱う対象が異なり誤りである。ベルヌーイ分布の前提を「1回の試行」として説明しているかで見分ける。

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この事例では「独立試行の成功回数のばらつきか」を確認すると、一定回数の試行における成功回数が、期待値の周りでどの程度ばらつくかを見るに絞れる。正解は「一定回数の試行における成功回数が、期待値の周りでどの程度ばらつくかを見る」である。二項分布では、ベルヌーイ分布に従う試行を一定回数、独立に繰り返したときの成功回数を扱う。分散は、その成功回数が期待値の周りでどの程度ばらつくかを表す指標である。平均が0、分散が1の正規分布は標準正規分布を指す別の概念であり、カテゴリ変数の自由度や回帰係数の符号を見ることとも異なる。二項分布の分散を、成功回数のばらつきという観点として説明しているかで見分ける。

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この事例では「平均0かつ分散1の正規分布か」を確認すると、平均0、分散1の正規分布であるに絞れる。正解は「平均0、分散1の正規分布である」である。標準正規分布は、平均0、分散1の正規分布であり、正規分布に従うデータを標準化することで得られる。成功または失敗の1回の試行を表すのはベルヌーイ分布であり、標準正規分布とは扱う内容が異なる。カテゴリ変数の集計を表すクロス集計表や、説明変数が複数ある回帰分析である重回帰分析も、いずれも標準正規分布とは別の概念である。 分布・表・分析法を分類する。ベルヌーイ分布は一回の二値試行、クロス集計表はカテゴリ度数、重回帰は複数説明変数のモデルである。正規変数を平均で中心化し標準偏差で尺度調整した分布が標準正規分布である。

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この事例では「待ち時間は連続の指数分布、回数は離散のポアソン分布か」を確認すると、指数分布は連続型確率分布、ポアソン分布は発生回数を扱う離散型確率分布であるに絞れる。正解は「指数分布は連続型確率分布、ポアソン分布は発生回数を扱う離散型確率分布である」である。指数分布は確率密度関数で表される連続型確率分布であり、ポアソン分布は一定時間や領域内の発生回数を扱う離散型確率分布である。どちらも相関係数の別名ではなく、母平均の検定や箱ひげ図を表す語でもない。また標本誤差・非標本誤差はデータ収集の際に生じる誤差を指す語であり、確率分布の名称とは異なる。指数分布とポアソン分布を、連続型か離散型かという分布の型で区別しているかで見分ける。

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この事例では「平均を引いて標準偏差で割る標準化か」を確認すると、正規分布の値を平均と標準偏差で変換し、標準正規分布として扱うに絞れる。正解は「正規分布の値を平均と標準偏差で変換し、標準正規分布として扱う」である。正規分布に従う値は、平均を引いて標準偏差で割る標準化を行うことで、平均0・分散1の標準正規分布として扱える。二項分布やポアソン分布は離散型確率分布であり、連続型確率分布である正規分布の標準化とは対象が異なる。クロス集計表の自由度はカイ二乗検定で使う値であり、標準化の変換とは無関係である。回帰直線の残差は回帰分析における予測値と実測値の差であり、標準化によって必ず0になるものではない。標準化の対象が連続型確率分布である正規分布であり、変換に使うのが平均と標準偏差であるという条件を先に固定し、離散型確率分布・自由度・残差という別の章の用語と混同していないかを確認する。

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この事例では「二値一試行と発生回数を区別するか」を確認すると、ベルヌーイ分布は1回の成功・失敗、ポアソン分布は一定時間や領域内の発生回数を扱うに絞れる。正解は「ベルヌーイ分布は1回の成功・失敗、ポアソン分布は一定時間や領域内の発生回数を扱う」である。ベルヌーイ分布は1回の試行における成功・失敗を扱う離散型確率分布であり、ポアソン分布は一定時間や一定領域内で起こる事象の発生回数を扱う離散型確率分布である。ベルヌーイ分布を連続型分布や標準正規分布とする説明、両分布を相関係数や回帰係数の別名とする説明、どちらも母平均の信頼区間だけを表すとする説明は、いずれも定義と異なり誤りである。両分布とも「とびとびの値」を扱う点で共通する離散型確率分布である。

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この事例では「とびとびの値をとる離散型か」を確認すると、成功回数や発生回数のように、とびとびの値をとるものに絞れる。正解は「成功回数や発生回数のように、とびとびの値をとるもの」である。離散型確率分布は、ベルヌーイ分布や二項分布、ポアソン分布のように、成功回数や発生回数のようなとびとびの値をとる確率変数を扱う。区間内のすべての実数値を扱うのは連続型確率分布の特徴であり、回帰直線の図は単回帰分析、箱ひげ図のひげはデータの散らばりを表す図であって、いずれも離散型確率分布の説明ではない。 離散型か連続型かは取り得る値の集合で区別する。0回、1回、2回のように可算な値を取るのが離散型で、区間内の任意の実数を取るのは連続型である。回帰直線や箱ひげ図の部品は確率変数の値域ではない。

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この事例では「中心と尺度を示す平均と標準偏差か」を確認すると、平均と標準偏差に絞れる。正解は「平均と標準偏差」である。正規分布の値を標準化して標準正規分布として扱うときは、平均と標準偏差を使う。この考え方は偏差値の算出や変動係数の考え方にも通じる。中央値と最頻値は1変数データの代表値、期待度数と自由度はカイ二乗検定、回帰係数と残差は単回帰分析で使う量であり、いずれも標準化の操作とは異なる文脈で使われる。 正規変数Xを標準正規変数Zへ変換する式はZ=(X−平均)/標準偏差である。中央値・最頻値は代表値、期待度数・自由度はカイ二乗検定、回帰係数・残差は回帰分析で使うため、標準化の中心化と尺度調整には用いない。

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