G検定 大項目8 AIに必要な数理・統計知識 予想問題（2/2）

この事例は「第三の変数の影響を除いた関連を測るか」という判断軸で見ると、正解は「偏相関係数」である。広告費と売上の関係を見るとき、季節要因という第三の変数が両方に影響していれば、そのままの相関係数や共分散では季節要因の影響が混ざったまま関連の強さが出てしまう。偏相関係数は季節要因の効果を取り除いたうえで、広告費と売上に残る関連の強さだけを表す指標であり、この事例の要件に合う。疑似相関は季節要因のような交絡因子によって見かけ上の関連が生じている状態そのものを指す言葉であり、指標として計算するものではない。季節要因を無視したまま相関係数や共分散だけを見ると、広告の効果を見誤るおそれがある。

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この事例では「尺度と相関構造を考慮した多変量距離か」という判断軸で見ると、正解は「マハラノビス距離」である。マハラノビス距離は、測定項目ごとの分散と項目間の相関（共分散）を考慮し、データ全体のばらつき方に応じて平均との差を補正する。したがって、相関する複数の測定項目から異常度を距離として評価したい設問の条件に合う。ユークリッド距離は2点間の単純な直線距離であり、共分散構造を調整しない。コサイン類似度はベクトルの向きの近さを測る指標、相関係数は2変数の直線的な関係の強さと向きを表す指標であり、どちらも設問が求める多変量距離ではない。

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この事例では「制御変数の影響を除いた二変数間の関連か」を確認すると、偏相関係数に絞れる。正解は「偏相関係数」である。偏相関係数は、両方の変数に影響を与えうる第三の変数の影響を取り除いたうえで、残る2変数間の相関の強さを表す指標である。相関係数は2つの変数の直線的な関係の強さと向きをそのまま表す指標であり、第三の変数の影響を取り除く操作は行わない。共分散は2つの変数が一緒に変動する度合いを、平均との差の積を合計して求める指標である。疑似相関は、第三の変数（交絡因子）の影響で2変数に見かけ上の相関が生じ、直接の因果関係を示すとは限らない状態そのものを指す語であり、いずれも指標ではなく現象を表す言葉である点で偏相関係数とは異なる。

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この事例では「変数間相関を含む共分散行列で距離を補正するか」という判断軸で見ると、正解は「マハラノビス距離」である。マハラノビス距離は、商品の各属性の分散と属性間の相関（共分散）を考慮し、データ全体のばらつき方に応じて平均との差を測る。したがって、互いに相関する複数属性を共分散行列で補正したい設問の条件に合う。ユークリッド距離は2点間の単純な直線距離であり、変数間相関を反映しない。コサイン類似度はベクトルの向きの近さを測る指標、相関係数は2変数の直線的な関係の強さと向きを表す指標であり、どちらも複数属性の平均との差を補正して測る距離ではない。

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この事例は「第三変数を統制した後の相関を測るか」という判断軸で見ると、正解は「偏相関係数」である。学習時間と得点の関係には事前学力という第三の変数が影響している可能性があり、単純な相関係数や共分散では事前学力の影響が残ったまま関連の強さが測られてしまう。偏相関係数は事前学力の効果を統制したうえで、学習時間と得点に残る関連の強さを表す指標であり、この場面で使う指標に当たる。疑似相関は事前学力のような交絡因子によって見かけ上の関連が生まれている状態を指す言葉であって、統制後の関連を数値化する指標ではない。事前学力を無視したまま単純な指標だけで判断すると、学習時間の効果を過大または過小に見積もるおそれがある。

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この事例は「共分散を尺度に依存しない形へ正規化するか」という判断軸で見ると、正解は「相関係数」である。単位が異なる2変数をそのまま共分散で比べると、単位の違いが値に影響してしまう。共分散を両変数の標準偏差で調整すると単位の影響が打ち消され、関係の強さと向きだけを比較できるようになり、これが相関係数である。共分散はこの調整前の値であり単位に依存したままである。偏相関係数は第三の変数を統制する指標、相互情報量は2変数の依存度を表す指標であり、いずれも単位を揃えるための標準偏差調整とは別の操作にあたる。単位をそろえずに共分散の大小だけで関係の強さを比べると、誤った結論に至りやすい。

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この事例では「第三の要因によって見かけの関連が生じているか」を確認すると、疑似相関に絞れる。疑似相関を正解として選べるかどうかは、2変数の関係を測る「指標」の話をしているのか、指標だけでは見抜けない「見かけ上の関係という現象」の話をしているのかで分かれる。共分散は各変数の平均との差の積を合計して求める指標で、符号によって2変数が同じ方向に動くか逆方向に動くかを表し、相関係数はその関係の強さを表す指標、偏相関係数は第三の変数の影響を除いたうえで測る指標である。これらはいずれも疑似相関を見分けるための道具であり、交絡因子によって生じる見かけ上の関係そのものを言い表す語ではない。

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この事例では「共分散行列によって尺度と相関を調整するか」という判断軸で見ると、正解は「マハラノビス距離」である。マハラノビス距離は、身長や体重など各変数の分散と変数間の相関（共分散）を考慮し、データ全体のばらつき方に応じて平均との差を測る。したがって、尺度も相関も異なる複数変数から多変量の外れ具合を評価したい設問の条件に合う。ユークリッド距離は2点間の単純な直線距離であり、尺度や相関を調整しない。コサイン類似度はベクトルの向きの近さを測る指標、相関係数は2変数の直線的な関係の強さと向きを表す指標であり、どちらも多変量の外れ具合を測る距離ではない。

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この事例は「統制変数の効果を除いた相関を求めるか」という判断軸で見ると、正解は「偏相関係数」である。睡眠時間と作業成績の関連には年齢という第三の変数が絡んでいる可能性があり、相関係数や共分散のままでは年齢の影響を含んだ関連の強さしか分からない。偏相関係数は年齢の影響を取り除いたうえで、睡眠時間と作業成績に残る関連の強さを表す指標であり、設問が求める調べ方に合致する。疑似相関は年齢のような交絡因子によって見かけ上の関連が生じている状態を指す言葉であり、関連の強さを測る指標ではない。年齢を無視したまま単純な指標だけで関連の強さを判断すると、実際には無い関連を見出してしまうおそれがある。

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この事例は「標準化した共分散で関連の向きと強さを表すか」という判断軸で見ると、正解は「相関係数」である。気温と消費電力の共分散を両変数の標準偏差で割ると、それぞれの尺度の違いが打ち消され、関係の向きと強さだけを表す値になる。この標準偏差による調整を行った値が相関係数であり、調整前の共分散とは値の意味が異なる。偏相関係数は気温・消費電力以外の第三の変数を統制する指標、相互情報量は2変数の依存の度合いを表す指標であり、いずれも尺度をそろえるための標準偏差調整そのものを表す語ではない。尺度をそろえずに共分散の値だけを比べると、気温と消費電力のように単位が異なる変数間の比較を誤りやすい。

https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section5/pmc541.htm

正解は「標本サイズから1を引いた値」である。標本共分散は、2つの変数についてそれぞれ平均との差（偏差）を求め、その積を全データ分合計したうえで、標本サイズから1を引いた値で割ることによって計算される指標であり、2変数が同じ方向に変動する傾向にあれば正の値、逆方向に変動する傾向にあれば負の値をとる。合計値をそのまま標本サイズで割る操作や、標本サイズの2乗・平方根で割る操作は、この定義には含まれない。標本共分散の値は偏差の積の合計をどの値で正規化するかによって定まるため、割る値を標本サイズから1を引いた値と正確に対応づけて覚えておくことが、共分散の計算過程を理解するうえで重要になる。

https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section5/pmc541.htm

正解は4である。平均は(3+5+7)÷3=5。各データと平均との差（偏差）は-2, 0, 2で、それぞれを2乗すると4, 0, 4となり、合計した偏差平方和は8である。標本分散は、この偏差平方和を標本サイズから1を引いた値（3-1=2）で割ることで求めるため、8÷2=4となる。8/3（約2.67）は偏差平方和8を標本サイズ3でそのまま割った値であり、標本サイズから1を引いた値で割る標本分散の定義とは異なる。8は偏差平方和そのものであり、割る操作を行っていない値である。2は標本分散4の正の平方根、つまり標本標準偏差の値であり、分散と標準偏差を取り違えている。

https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda356.htm

正解は0.6である。xの平均は2.5、yの平均も2.5。各データの偏差はx: -1.5, -0.5, 0.5, 1.5、y: -0.5, -1.5, 1.5, 0.5となる。xの偏差平方和は(-1.5)²+(-0.5)²+0.5²+1.5²=5.0、yの偏差平方和も同様に5.0。xとyの偏差の積の合計は(-1.5)(-0.5)+(-0.5)(-1.5)+0.5×1.5+1.5×0.5=0.75+0.75+0.75+0.75=3.0となる。相関係数は、この偏差の積の合計3.0を、xとyそれぞれの偏差平方和の平方根の積（√5.0×√5.0=5.0）で割ることで求めるため、3.0÷5.0=0.6となる。3.0は偏差の積の合計そのものであり、平方根の積で割る操作を行っていない値である。-0.6は偏差の符号を取り違えた場合に生じる値である。0.75は偏差の積の合計3.0を標本サイズ4でそのまま割った値であり、相関係数の定義とは異なる。

https://itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/correlat.htm