第40問〜第72問を掲載しています。答えを開き、誤答選択肢との違いまで確認してください。
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試験概要（公式）この事例は「第三の変数の影響を除いた関連を測るか」という判断軸で見ると、正解は「偏相関係数」である。広告費と売上の関係を見るとき、季節要因という第三の変数が両方に影響していれば、そのままの相関係数や共分散では季節要因の影響が混ざったまま関連の強さが出てしまう。偏相関係数は季節要因の効果を取り除いたうえで、広告費と売上に残る関連の強さだけを表す指標であり、この事例の要件に合う。疑似相関は季節要因のような交絡因子によって見かけ上の関連が生じている状態そのものを指す言葉であり、指標として計算するものではない。季節要因を無視したまま相関係数や共分散だけを見ると、広告の効果を見誤るおそれがある。
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この事例では「尺度と相関構造を考慮した多変量距離か」という判断軸で見ると、正解は「マハラノビス距離」である。マハラノビス距離は、測定項目ごとの分散と項目間の相関（共分散）を考慮し、データ全体のばらつき方に応じて平均との差を補正する。したがって、相関する複数の測定項目から異常度を距離として評価したい設問の条件に合う。ユークリッド距離は2点間の単純な直線距離であり、共分散構造を調整しない。コサイン類似度はベクトルの向きの近さを測る指標、相関係数は2変数の直線的な関係の強さと向きを表す指標であり、どちらも設問が求める多変量距離ではない。
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この事例では「制御変数の影響を除いた二変数間の関連か」を確認すると、「偏相関係数」が当てはまると分かる。正解は「偏相関係数」である。偏相関係数は、両方の変数に影響を与えうる第三の変数の影響を取り除いたうえで、残る2変数間の相関の強さを表す指標である。相関係数は2つの変数の直線的な関係の強さと向きをそのまま表す指標であり、第三の変数の影響を取り除く操作は行わない。共分散は2つの変数が一緒に変動する度合いを、平均との差の積を合計して求める指標である。疑似相関は、第三の変数（交絡因子）の影響で2変数に見かけ上の相関が生じ、直接の因果関係を示すとは限らない状態そのものを指す語であり、いずれも指標ではなく現象を表す言葉である点で偏相関係数とは異なる。
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この事例では「変数間相関を含む共分散行列で距離を補正するか」という判断軸で見ると、正解は「マハラノビス距離」である。マハラノビス距離は、商品の各属性の分散と属性間の相関（共分散）を考慮し、データ全体のばらつき方に応じて平均との差を測る。したがって、互いに相関する複数属性を共分散行列で補正したい設問の条件に合う。ユークリッド距離は2点間の単純な直線距離であり、変数間相関を反映しない。コサイン類似度はベクトルの向きの近さを測る指標、相関係数は2変数の直線的な関係の強さと向きを表す指標であり、どちらも複数属性の平均との差を補正して測る距離ではない。
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この事例は「第三変数を統制した後の相関を測るか」という判断軸で見ると、正解は「偏相関係数」である。学習時間と得点の関係には事前学力という第三の変数が影響している可能性があり、単純な相関係数や共分散では事前学力の影響が残ったまま関連の強さが測られてしまう。偏相関係数は事前学力の効果を統制したうえで、学習時間と得点に残る関連の強さを表す指標であり、この場面で使う指標に当たる。疑似相関は事前学力のような交絡因子によって見かけ上の関連が生まれている状態を指す言葉であって、統制後の関連を数値化する指標ではない。事前学力を無視したまま単純な指標だけで判断すると、学習時間の効果を過大または過小に見積もるおそれがある。
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この事例は「共分散を尺度に依存しない形へ正規化するか」という判断軸で見ると、正解は「相関係数」である。単位が異なる2変数をそのまま共分散で比べると、単位の違いが値に影響してしまう。共分散を両変数の標準偏差で調整すると単位の影響が打ち消され、関係の強さと向きだけを比較できるようになり、これが相関係数である。共分散はこの調整前の値であり単位に依存したままである。偏相関係数は第三の変数を統制する指標、相互情報量は2変数の依存度を表す指標であり、いずれも単位を揃えるための標準偏差調整とは別の操作にあたる。単位をそろえずに共分散の大小だけで関係の強さを比べると、誤った結論に至りやすい。
https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section5/pmc541.htm
この事例では「第三の要因によって見かけの関連が生じているか」を確認すると、「疑似相関」が当てはまると分かる。疑似相関を正解として選べるかどうかは、2変数の関係を測る「指標」の話をしているのか、指標だけでは見抜けない「見かけ上の関係という現象」の話をしているのかで分かれる。共分散は各変数の平均との差の積を合計して求める指標で、符号によって2変数が同じ方向に動くか逆方向に動くかを表し、相関係数はその関係の強さを表す指標、偏相関係数は第三の変数の影響を除いたうえで測る指標である。これらはいずれも疑似相関を見分けるための道具であり、交絡因子によって生じる見かけ上の関係そのものを言い表す語ではない。
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この事例では「共分散行列によって尺度と相関を調整するか」という判断軸で見ると、正解は「マハラノビス距離」である。マハラノビス距離は、身長や体重など各変数の分散と変数間の相関（共分散）を考慮し、データ全体のばらつき方に応じて平均との差を測る。したがって、尺度も相関も異なる複数変数から多変量の外れ具合を評価したい設問の条件に合う。ユークリッド距離は2点間の単純な直線距離であり、尺度や相関を調整しない。コサイン類似度はベクトルの向きの近さを測る指標、相関係数は2変数の直線的な関係の強さと向きを表す指標であり、どちらも多変量の外れ具合を測る距離ではない。
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この事例は「統制変数の効果を除いた相関を求めるか」という判断軸で見ると、正解は「偏相関係数」である。睡眠時間と作業成績の関連には年齢という第三の変数が絡んでいる可能性があり、相関係数や共分散のままでは年齢の影響を含んだ関連の強さしか分からない。偏相関係数は年齢の影響を取り除いたうえで、睡眠時間と作業成績に残る関連の強さを表す指標であり、設問が求める調べ方に合致する。疑似相関は年齢のような交絡因子によって見かけ上の関連が生じている状態を指す言葉であり、関連の強さを測る指標ではない。年齢を無視したまま単純な指標だけで関連の強さを判断すると、実際には無い関連を見出してしまうおそれがある。
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この事例は「標準化した共分散で関連の向きと強さを表すか」という判断軸で見ると、正解は「相関係数」である。気温と消費電力の共分散を両変数の標準偏差で割ると、それぞれの尺度の違いが打ち消され、関係の向きと強さだけを表す値になる。この標準偏差による調整を行った値が相関係数であり、調整前の共分散とは値の意味が異なる。偏相関係数は気温・消費電力以外の第三の変数を統制する指標、相互情報量は2変数の依存の度合いを表す指標であり、いずれも尺度をそろえるための標準偏差調整そのものを表す語ではない。尺度をそろえずに共分散の値だけを比べると、気温と消費電力のように単位が異なる変数間の比較を誤りやすい。
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正解は「標本サイズから1を引いた値」である。標本共分散は、2つの変数についてそれぞれ平均との差（偏差）を求め、その積を全データ分合計したうえで、標本サイズから1を引いた値で割ることによって計算される指標であり、2変数が同じ方向に変動する傾向にあれば正の値、逆方向に変動する傾向にあれば負の値をとる。合計値をそのまま標本サイズで割る操作や、標本サイズの2乗・平方根で割る操作は、この定義には含まれない。標本共分散の値は偏差の積の合計をどの値で正規化するかによって定まるため、割る値を標本サイズから1を引いた値と正確に対応づけて覚えておくことが、共分散の計算過程を理解するうえで重要になる。
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正解は4である。平均は(3+5+7)÷3=5。各データと平均との差（偏差）は-2, 0, 2で、それぞれを2乗すると4, 0, 4となり、合計した偏差平方和は8である。標本分散は、この偏差平方和を標本サイズから1を引いた値（3-1=2）で割ることで求めるため、8÷2=4となる。8/3（約2.67）は偏差平方和8を標本サイズ3でそのまま割った値であり、標本サイズから1を引いた値で割る標本分散の定義とは異なる。8は偏差平方和そのものであり、割る操作を行っていない値である。2は標本分散4の正の平方根、つまり標本標準偏差の値であり、分散と標準偏差を取り違えている。
https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda356.htm
正解は0.6である。xの平均は2.5、yの平均も2.5。各データの偏差はx: -1.5, -0.5, 0.5, 1.5、y: -0.5, -1.5, 1.5, 0.5となる。xの偏差平方和は(-1.5)²+(-0.5)²+0.5²+1.5²=5.0、yの偏差平方和も同様に5.0。xとyの偏差の積の合計は(-1.5)(-0.5)+(-0.5)(-1.5)+0.5×1.5+1.5×0.5=0.75+0.75+0.75+0.75=3.0となる。相関係数は、この偏差の積の合計3.0を、xとyそれぞれの偏差平方和の平方根の積（√5.0×√5.0=5.0）で割ることで求めるため、3.0÷5.0=0.6となる。3.0は偏差の積の合計そのものであり、平方根の積で割る操作を行っていない値である。-0.6は偏差の符号を取り違えた場合に生じる値である。0.75は偏差の積の合計3.0を標本サイズ4でそのまま割った値であり、相関係数の定義とは異なる。
https://itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/correlat.htm
正解は8/3（約2.67）である。分散は、各データと平均との差である偏差を二乗し、その値を全データについて平均した量として求める。まず平均は(2+4+6)÷3=4で、偏差は-2、0、2となる。偏差を二乗すると4、0、4、偏差平方和は8である。設問は3個を対象全体として扱うため、全データ数3で割って8÷3=8/3を得る。選択肢は計算段階と分母に注目して見分ける。8は平均前の偏差平方和、4は8を3-1で割った標本分散、2はその標本分散の正の平方根であり、いずれも全データについて平均する今回の分散ではない。
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正解は「4、1」である。分散は、平均との差である偏差を二乗し、全データについて平均した量である。AとBはいずれも平均が3なので、平均値だけでは両者を区別できない。Aの偏差は-2、-2、2、2で、二乗和16をデータ数4で割ると分散4になる。Bの偏差は-1、-1、1、1で、二乗和4を4で割ると分散1になる。判別では、偏差平方和を分散と取り違えず、AとBの並び順も保つことが重要である。16と4は平均前の平方和であり、1と4は正しい2値を逆順にした組合せである。
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正解は4/3（約1.33）である。共分散は、2変数について対応する偏差の積を求め、その偏差積を全データについて平均した量として計算する。xの平均は2、yの平均は5であり、偏差はそれぞれ(-1, 0, 1)と(-2, 0, 2)になる。組ごとの偏差積は2、0、2、合計は4なので、対象全体の3組で割って4÷3=4/3を得る。選択肢を分ける要点は、偏差積和と平均後の共分散、さらに全データ平均と標本共分散を混同しないことである。4は平均前の合計、2は4を3-1で割った標本共分散、0は偏差積の正負が相殺すると誤認した値である。
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正解は-4/3（約-1.33）である。共分散は、2変数の対応する偏差を掛け、その偏差積を全データについて平均して求める。xの平均は2、yの平均は5であり、偏差は(-1, 0, 1)と(2, 0, -2)になる。対応する積は-2、0、-2で、偏差積和は-4である。対象全体の3組で平均すると-4÷3=-4/3となる。符号と分母を確認すると誤答を除ける。4/3は負の偏差積を正に変えており、-2は3-1を分母にした標本共分散、0は-2と-2が打ち消し合うと誤認した値である。今回は両端の積がともに負なので合計も負になる。
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正解は0である。共分散は、2変数の対応する偏差の積を全データについて平均した量である。xの平均は2なので偏差は(-1, 0, 1)、yの平均は5/3なので偏差は(1/3, -2/3, 1/3)となる。対応する偏差積は-1/3、0、1/3で、負と正がちょうど打ち消し合い、偏差積和は0になる。0を全データ数3で割っても共分散は0である。判断時は、1組だけで結論を出さず、全組の符号付き偏差積を合計する。1/3と-1/3は一方の組だけを見た値、2/3は符号を無視して絶対値を足した値であり、定義どおりの集計ではない。
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正解は3である。共分散を偏差積の全データについての平均として求める場合は、2変数の偏差積を合計した後、その合計を全データの組数で割る。設問では偏差積和18と組数6がすでに与えられているため、各平均や個別の偏差を求め直す必要はなく、18÷6=3と計算できる。ここでは、与えられた18が平均前の合計であることと、設問が対象全体を扱うことの2点で選択肢を判別する。18は割る前の値、108は平均とは逆に掛けた値、3.6は18÷(6-1)で求めた標本共分散であり、全データ数6で平均する今回の定義とは異なる。
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正解は4である。分散は、各データと平均との差を二乗し、その値を全データについて平均した量である。設問では偏差を二乗して合計する段階まで終わっており、偏差平方和20と全データ数5が与えられている。したがって20÷5=4が分散になる。平方和・分散・標準偏差という計算段階と、分母の選び方で候補を整理できる。20は平均前の偏差平方和、5は20÷(5-1)で求めた標本分散、2は正しい分散4の正の平方根である。今回は対象全体として全データ数5で平均するため、これらを選ばない。
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正解は「3、4」である。分散を偏差の二乗の全データ平均として求める場合、偏差平方和を全データ数で割るため、12÷4=3となる。一方、標本分散の定義では、偏差平方和を標本サイズから1を引いた値で割るため、12÷(4-1)=4となる。組合せを選ぶ際は、同じ偏差平方和でも対象全体の分散と標本分散で分母が違うこと、そして設問が答えの順序を指定していることを確認する。「4、3」は2値を逆順にしたもの、「3、3」と「4、4」は両方へ同じ分母を使って区別を失った組合せである。
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正解は0.75である。相関係数は相関の程度を表す指標で、計算では2変数の共分散を両変数の標準偏差の積で割る。まず分母を2×4=8と求め、共分散6をこの積で割ると6÷8=0.75になる。計算では、標準偏差を足すのではなく掛けることと、両方の標準偏差を分母へ含めることを確認する。0.5は必要な因子を欠く計算、1は共分散と標準偏差の積が等しいと誤認した値、1.5は6÷4のように片方だけで割った値である。共分散6そのものも尺度調整前の量なので、相関係数とは区別する。
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正解は、問い合わせ回数と解約率のそれぞれから契約期間の影響を取り除き、残った値どうしの相関を求める手順である。偏相関係数は、他の変数の影響を除いた相関の程度を表すため、第三の変数である契約期間を調整するこの手順に対応する。各手順を区別するには、扱う変数の個数よりも、第三の変数の影響を除く工程があるかを見る。偏差積の全データ平均は共分散、共分散を標準偏差の積で割るだけなら通常の相関係数、問い合わせ回数だけの偏差二乗平均は分散になる。いずれも契約期間の影響を除く工程を含まないため、偏相関係数ではない。
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正解は「ベクトル」である。Google機械学習用語集では、ベクトルは数値の配列として定義される。設問の[0.2, 1.5, -0.4]は複数の数値を順序づけて1つの配列にまとめたものなので、この定義に当てはまる。行列は数値の2次元配列で、各要素を2つの座標で識別するため、一列の配列として示された今回の表現とは区別する。偏微分は他の変数を固定して1つの変数について変化を求める操作であり、数値配列そのものの名称ではない。勾配は偏微分を並べたベクトルだが、設問には関数や偏微分が示されていないため、より一般的な数学的対象であるベクトルを選ぶ。
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正解は「特徴ベクトル」である。Google機械学習用語集では、特徴ベクトルは1つの例を構成する特徴量の値の配列と定義される。設問は1件の入力例について3つの特徴量の値をまとめているため、単なる数値配列という一般的な呼び方より、用途まで表す特徴ベクトルが最も適切である。行列は数値の2次元配列であり、複数の例を行と列にまとめた表全体などに対応する。勾配もベクトルの一種だが、各変数について求めた偏微分を並べたものを指し、特徴量の値を並べた今回の配列とは内容が違う。偏微分は他の変数を固定して1変数の変化を調べる操作なので、入力例を表す配列ではない。
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正解は「行列」である。Google機械学習用語集は、行列を数値の2次元配列とし、その要素は1つではなく2つの座標で識別されると説明している。設問では数値が行と列に配置され、位置を行番号と列番号の組で指定するため、この特徴に一致する。特徴ベクトルは1つの例を構成する特徴量の値の配列であり、1例分の一列の値として扱う場合と区別する。偏微分は多変数関数で他の変数を固定して1変数の変化を調べる操作であり、連鎖律は合成された関数の微分をつなぐ計算規則である。いずれも数値を2次元に並べたデータ表現の名称ではない。
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正解は「表全体が行列で、1行が1例の特徴ベクトルである」である。数値表全体は行と列を持つ2次元配列で、各要素を行番号と列番号の2座標で指定するため行列に当たる。一方、1行だけを取り出すと、その行は1件の入力例について各列の特徴量の値を順に並べた配列になるため、特徴ベクトルに当たる。表全体と1行では、扱う例の数と配列の次元が異なる。偏微分は他の変数を固定して1変数だけを変化させる微分操作なので、どちらのデータ表現にも当たらない。また、1行は1例分の配列として扱うため、表全体と同じく常に2座標を必要とするという説明も適切ではない。
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正解は「wについての偏微分」である。Google機械学習用語集では、偏微分は複数の変数を持つ関数について、他の変数を全て定数として扱い、1つの変数だけを変化させて求める微分と説明される。設問はL(w, b)のうちbを固定し、wだけを変えたときの損失の変化を調べているため、wに関する偏微分の条件に一致する。行列は数値の2次元配列であり、この微分操作を表さない。特徴ベクトルは1つの例を構成する特徴量の値の配列なので、損失関数の変化を求める操作ではない。勾配は全ての独立変数に関する偏微分を並べたベクトルであり、bだけから作るという説明も設問の条件と合わない。
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正解は「wを定数として固定し、bだけを変化させる」である。偏微分では、多変数関数のうち注目する1つの変数だけを変化させ、それ以外の変数は定数として扱う。bの影響を調べたい設問ではbが注目変数であり、もう一方のwを固定する必要がある。wとbを同時に変えると、どちらの変化が関数へ影響したかを分けられず、bについての偏微分にならない。二つの値を行列へ変換することも、変化の割合を求める操作ではない。bを固定してwを変える手順ならwについての偏微分になるため、求める変数が逆である。固定する変数と変化させる変数を取り違えないことが判断の中心になる。
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正解は「[2, -1]」である。Google機械学習用語集では、勾配は全ての独立変数に関する偏微分を並べたベクトルと説明される。設問ではw₁に関する偏微分が2、w₂に関する偏微分が-1と与えられ、並べる順序もw₁、w₂と指定されている。したがって、その順に値を配置した[2, -1]が勾配になる。[2, 1]はw₂の偏微分の負号を失っており、関数がw₂方向へどう変化するかを正しく保持していない。1と-2は二つの偏微分を一つの数へまとめた値であり、全ての独立変数の偏微分を成分として持つベクトルになっていない。計算では加算や乗算をせず、指定された変数順に各偏微分を並べる。
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正解は「[2, -1]」である。Google機械学習用語集は、勾配を各独立変数に関する偏微分のベクトルとし、その勾配が関数の最急上昇方向を指すと説明する。設問では勾配そのものが[2, -1]と与えられているため、関数が最も急激に増加する方向も同じ[2, -1]である。[-2, 1]は両成分の符号を反転した向きで、勾配と反対方向になる。[1, 2]と[-1, 2]は成分の順序や符号が与えられた勾配と一致せず、最急上昇方向を示さない。この問題では偏微分を再計算する必要はなく、勾配が示す役割を方向選択へ適用できるかが判断点になる。
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正解は「誤差の各パラメータに関する偏微分」である。Google機械学習用語集は、誤差逆伝播法を、連鎖律を用いて各パラメータに関する誤差の偏微分を計算する方法として説明する。ニューラルネットワークでは計算が複数の段階につながっているため、出力側で得た誤差から連鎖律で関係をたどり、各パラメータが誤差へ与える変化を求める。特徴ベクトルは1つの入力例を構成する特徴量の値の配列であり、逆伝播が計算する対象そのものではない。行列の座標は2次元配列内の位置を示すだけで、誤差への影響を表さない。勾配は偏微分を並べたベクトルだが、「誤差と無関係」とする説明では、誤差の偏微分を求める逆伝播の目的から外れる。
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正解は「6」である。誤差逆伝播法では、連鎖律を使って各パラメータに関する誤差の偏微分を計算する。この設問では、誤差Eから中間値hへの偏微分∂E/∂hが3、中間値hから重みwへの偏微分∂h/∂wが2と与えられている。連鎖律により∂E/∂w=(∂E/∂h)×(∂h/∂w)なので、3×2=6となる。5は二つの偏微分を加えた値、1は差を取った値、1.5は3を2で割った値であり、いずれもつながった変化を積で結ぶ連鎖律を適用していない。計算経路の順に偏微分を確認し、加算や除算ではなく積を取ることが判断点である。
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