統計検定2級の箱ひげ図と四分位数

結論

1. 四分位数 = 中央値でデータを下半分と上半分に分け、それぞれの中央値がQ1とQ3
2. 四分位範囲 = IQ = Q3−Q1(データの中央50%の幅)
3. 外れ値の境界 = 下側Q1−1.5×IQ、上側Q3+1.5×IQ(外側の点が候補)
4. 外れ値は平均と範囲を大きく動かし、中央値と四分位範囲は動きが小さい

四分位数と四分位範囲を求める

英語版Wikipediaの方法1は、中央値でデータを下半分と上半分に分け、下半分の中央値を下側四分位数Q1、上半分の中央値を上側四分位数Q3とします。偶数個のデータは、ちょうど半分に分けます。

例です(架空のデータです)。10人の得点を小さい順に並べると、12、15、18、20、22、25、27、30、33、70です。

• 中央値: 5番目と6番目の平均で(22+25)÷2=23.5
• 下半分12、15、18、20、22の中央値(Q1): 18
• 上半分25、27、30、33、70の中央値(Q3): 30
• 四分位範囲: IQ=30−18=12

四分位範囲12は、真ん中の5人の得点が収まる幅です。用語は四分位範囲と四分位数の用語集にあります。

外れ値の境界を計算する

NISTのハンドブックは、柵つき箱ひげ図で、下側の境界L1=Q1−1.5×IQと上側の境界U1=Q3+1.5×IQを計算します。ひげは、境界の内側にある最も外側の点まで引き、境界を越えた点は小さな円で別に描きます。

• 下側の境界: 18−1.5×12=0
• 上側の境界: 30+1.5×12=48
• 下側のひげ: 0より大きい最小の12まで
• 上側のひげ: 48より小さい最大の33まで
• 70: 48を超えるので、外れ値の候補として別の点で描く

ひげは最大値まで伸ばさず、境界の内側にある最大の値までで止めます。NISTは、この外側に3.0×IQの境界も置き、さらに離れた点を大きな円で描き分けています。式は統計検定2級の公式一覧にもまとめています。

外れ値が平均と中央値に与える影響

NISTは、分散と標準偏差が遠い値に大きな重みを与えるのに対し、四分位範囲はデータの中央部分だけを使うとしています。例の70点を除いた9人と比べます。

1人の外れ値で、平均は約4.8、範囲は37も動きますが、この例では四分位範囲は12のままです。中央値は23.5と22で1.5しか違わず、平均や範囲より動きが小さくなります。平均や中央値の違いは中央値の用語集で確認できます。

四分位数の定義で値が変わる

英語版Wikipediaは、離散データの四分位数の選び方に普遍的な合意はないとして、4つの方法を挙げています。順に並べた11個のデータ6、7、15、36、39、40、41、42、43、47、49(中央値は40)での値は、次のとおりです。

同じデータでも、方法によってQ1は15から25.5まで動きます。このページの計算は、方法1(中央値で2つに分ける)で行っています。問題文に方法が示されていれば、それに従います。

間違えやすい点

計算の途中で起きやすい取り違えを、10人の得点の例で4つ挙げます。

• 範囲と四分位範囲を取り違える: 範囲は最大−最小の58、四分位範囲はQ3−Q1の12です。
• 境界の1.5を掛け忘れる: 上側の境界はQ3+IQの42ではなく、Q3+1.5×IQの48です。
• ひげを最大値まで伸ばす: 上側のひげは70ではなく、境界の内側の最大33までです。
• 外れ値を自動で捨てる: 境界の外は外れ値の「候補」で、図では別の点として描くだけです。

図を読むときは、箱の両端がQ1とQ3、箱の中の線が中央値、ひげの先が最大値とは限らない点を確かめます。

問題文から読み取る

問題文の言い回しから、使う指標と式を判断できます。このページの例から導いた読み方で、出題を予想するものではありません。

• 「データの中央50%の幅」とあれば、四分位範囲Q3−Q1
• 「外れ値の基準を1.5×四分位範囲とする」とあれば、Q1−1.5×IQとQ3+1.5×IQ
• 「外れ値の影響を受けにくい」とあれば、中央値や四分位範囲
• 「箱ひげ図から読み取る」とあれば、箱の両端がQ1とQ3、線が中央値
• 「複数のグループを箱ひげ図で比較する」とあれば、位置(中央値)とばらつき(箱の幅)の違い

よくある質問

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