第1章 1変数データの記述

統計検定2級の度数分布表から平均・分散・最頻値を求める

統計検定2級の公式出題範囲には、データの分布の記述として度数分布表があります。このページは、元のデータがなく度数分布表だけが与えられたときの計算を、小さな表で最後まで解きます。階級ごとの中央の値（階級値）を、その階級のデータの代わりに使うのが基本の考え方です。

データはすべて架空です。20人の通学時間（分）を、幅10分の5つの階級に分けた表を使います。

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結論

階級値は、階級の下限と上限の中央の値
平均は、階級値×度数の合計 ÷ 総度数
最頻値は、度数が最大の階級の階級値
中央値は、累積度数で真ん中の順位が入る階級まで特定する
階級値で求めた平均や分散は、元データの値とは一致しない近似値

度数分布表の列を埋める

度数は各階級に入る人数です。相対度数は度数を総度数20で割った値、累積度数は小さい階級から順に度数を足した値、累積相対度数は相対度数を同じように足した値です。階級値は (下限+上限)÷2 で、「0以上10未満」なら5になります。

階級（分）	階級値	度数	相対度数	累積度数	累積相対度数	階級値×度数
0以上10未満	5	2	0.10	2	0.10	10
10以上20未満	15	5	0.25	7	0.35	75
20以上30未満	25	8	0.40	15	0.75	200
30以上40未満	35	4	0.20	19	0.95	140
40以上50未満	45	1	0.05	20	1.00	45

累積度数の最後は総度数20、累積相対度数の最後は1.00になります。ここが合わないときは、途中の足し算を見直します。用語は度数分布表とヒストグラムの用語集にあります。

平均を求める

統計局の「なるほど統計学園」は、詳細なデータがないときにヒストグラムの階級値を代用して平均を計算できると説明しています。階級値と度数の積を全階級で合計し、総度数で割ります。

階級値×度数の合計：10+75+200+140+45=470
総度数：2+5+8+4+1=20
平均：470÷20=23.5（分）

平均は23.5分です。度数が多い階級の階級値に近づくので、度数8の25に近い値になります。

分散と標準偏差を求める

階級内のデータはすべて階級値とみなして、偏差の2乗を度数で重みづけします。2つの求め方があり、結果は同じです。

偏差で求める：偏差は −18.5, −8.5, 1.5, 11.5, 21.5、2乗は 342.25, 72.25, 2.25, 132.25, 462.25。度数を掛けて 684.5+361.25+18+529+462.25=2055、20で割って 102.75
2乗の平均−平均の2乗：階級値の2乗に度数を掛けた合計は 50+1125+5000+4900+2025=13100、20で割って 655。655−23.5²=655−552.25=102.75

分散は102.75、標準偏差は√102.75≒10.14（分）です。総度数で割る分散（母集団の分散の求め方）です。標本から母分散を推定する不偏分散は、2055÷19≒108.16 になります。どちらを使うかは問題文の指示に従います。2つの違いは不偏性と一致性のページで確かめられます。

最頻値と中央値

統計局の「なるほど統計学園」は、ヒストグラムから最頻値を求めるときは最も度数の多い階級の階級値とすると説明しています。この表で度数が最大なのは8の「20以上30未満」なので、最頻値は25分です。

中央値は、20人なら10番目と11番目の平均です。累積度数は、10番目までの時点で「10以上20未満」までが7人、「20以上30未満」までが15人なので、10番目も11番目も「20以上30未満」に入ります。中央値を含む階級は「20以上30未満」です。階級の中の個々の値は表から分からないため、このページでは階級までを答えとします。

平均23.5、最頻値25、中央値を含む階級20以上30未満が近い値にそろっています。統計局は、外れ値の影響を最も受けるのが平均値で、中央値は多くの場合それほど受けず、最頻値はまず受けないと述べています。