統計検定2級の期待値と分散

結論

1. 期待値 = 各値に確率を掛けて合計、E(X)=Σx·f(x)
2. 分散 = E(X²)−[E(X)]²(平均との差の2乗の期待値と同じ値)
3. Y=aX+bの平均 = aμ+b、分散 = a²σ²、標準偏差 = |a|σ(bは分散に影響しない)
4. 和と差の分散 = V(X)+V(Y)±2Cov(X,Y)(共分散が0なら足し算)

期待値と分散を求める

離散確率変数Xの期待値は、各値x_iにその確率f(x_i)を掛けて合計したE(X)=Σx_i f(x_i)です。分散は、平均との差の2乗の期待値E[(X−E(X))²]で、E(X²)−[E(X)]²でも求められます。

例です(架空のデータです)。Xが1、2、3をそれぞれ確率0.2、0.5、0.3でとるとします。

• 期待値: E(X)=0.2+1.0+0.9=2.1
• 2乗の期待値: E(X²)=0.2+2.0+2.7=4.9
• 分散: V(X)=4.9−2.1²=4.9−4.41=0.49
• 標準偏差: √0.49=0.7

E(X²)を平均の2乗で代用せず、別々に計算して引きます。用語は期待値と分散の用語集にあります。

aX+bに変換する

Penn State STAT 414は、Xの平均がμ、分散がσ²のとき、Y=aX+bの平均をaμ+b、分散をa²σ²、標準偏差を|a|σとしています。前の例のX(平均2.1、分散0.49、標準偏差0.7)で計算します。

• Y=3X+2の平均: 3×2.1+2=8.3
• Y=3X+2の分散: 3²×0.49=4.41、標準偏差は3×0.7=2.1
• Y=−2X+10の平均: −2×2.1+10=5.8
• Y=−2X+10の分散: (−2)²×0.49=1.96、標準偏差は|−2|×0.7=1.4

平均は変換の式をそのまま当てはめ、分散はaを2乗するだけでbを使いません。aが負でも分散は正のままで、標準偏差は絶対値をとります。

偏差値への変換で確かめる

aX+bの身近な例が偏差値です。平均60、標準偏差8の得点Xを、平均50、標準偏差10にそろえる変換T=10(X−60)÷8+50を整理すると、T=1.25X−25になります(架空の例です)。

• 平均: 1.25×60−25=50
• 標準偏差: 1.25×8=10

定数を引いても標準偏差は変わらず、掛けた倍率だけ標準偏差が変わります。同じ考え方で標準化する手順は標準化のページにまとめています。

和と差の分散

英語版Wikipediaの「Variance」は、Var(aX+bY)=a²Var(X)+b²Var(Y)+2ab Cov(X,Y)、Var(aX−bY)=a²Var(X)+b²Var(Y)−2ab Cov(X,Y)としています。相関のない確率変数の和の分散は、各分散の和に等しくなります。

例です。前のXに加えて、平均3、分散0.25の確率変数Wを考えます(架空の例です)。XとWの共分散Cov(X,W)が0のときと0.1のときで、X+WとX−Wの分散を比べます。

平均は和も差も単純に足し引きし、分散は差でも足して、共分散の項だけ符号が変わります。共分散と相関係数の関係は相関係数のページで確認できます。

間違えやすい点

計算の途中で起きやすい取り違えを、このページの例で4つ挙げます。

• aを2乗し忘れる: Y=3X+2の分散は3×0.49ではなく、3²×0.49=4.41です。
• bを分散に足す: Y=3X+2の分散に2を足さず、bは平均だけに入ります。
• 差の分散を引き算にする: X−Wの分散は0.49−0.25ではなく、足して0.74です(共分散が0のとき)。
• 標準偏差を足す: X+Wの標準偏差は0.7+0.5=1.2ではなく、√0.74≒0.86です。足せるのは分散です。

足したり掛けたりする前に、いま扱っているのが平均か分散か標準偏差かを一度確かめます。

問題文から読み取る

問題文の言い回しから、使う式を判断できます。このページの例から導いた読み方で、出題を予想するものではありません。

• 「確率分布表が与えられている」とあれば、E(X)とE(X²)を表から計算
• 「Y=aX+b」とあれば、平均はaμ+b、分散はa²σ²
• 「単位を変える」「得点を換算する」とあれば、aX+bの変換
• 「XとYの和や差の分散」とあれば、共分散の有無を確かめて±2Cov
• 「独立」または「共分散が0」とあれば、分散はそのまま足し算

よくある質問

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