統計検定2級のジニ係数と歪度・尖度の計算

結論

1. ローレンツ曲線は、所得の小さい順に並べて、世帯の累積割合と所得の累積割合を結んだ曲線
2. ジニ係数は、ローレンツ曲線の下の面積をBとすると 1−2B で求まり、0から1の値で大きいほど格差が大きい
3. 5世帯の所得（1、2、3、4、10）では、B＝0.30、ジニ係数は0.4
4. 同じデータの歪度は約1.14（右の裾が長い）、元の定義の尖度は約2.79、超過尖度は約−0.21
5. 歪度と尖度の標準偏差はnで割る。尖度は3を引くかどうかで値が変わる

ローレンツ曲線を作る

総務省統計局の解説では、ローレンツ曲線は、階級値の小さい方から順に並べ、横軸に累積相対度数、縦軸に累積配分比率（階級値と度数を掛けた値の全体に占める割合の累積）を取って作ります。中央の斜線は均等配分線で、完全に均等に配分された場合を表します。作図では、原点を通るように先頭に0を入れておくとよいとされています。

5世帯の所得を1、2、3、4、10とします。数値は説明用に作った架空の例で、合計は20です。1世帯ずつ足していくと、世帯の累積割合は0.2ずつ増え、所得の累積割合は次の表のとおりです。右の列は、原点から各点までを台形とみなしたときの面積で、次の節で使います。

下位の4世帯は世帯の80%なのに、所得は全体の50%しかありません。均等配分線なら0.8の点は0.8になるので、ローレンツ曲線は均等配分線より下に垂れます。用語はローレンツ曲線の用語集にあります。

ジニ係数を面積から求める

統計局の定義では、ジニ係数は、均等配分線とローレンツ曲線に囲まれた面積を、均等配分線より下の三角形の面積で割った値です。累積比率を直線で結ぶ場合、ローレンツ曲線の下の面積をBとすると、三角形の面積は1/2なので、ジニ係数は (1/2−B)÷(1/2)＝1−2B で計算できます。

上の表の台形の面積を足すと B＝0.005＋0.020＋0.045＋0.080＋0.150＝0.300 です。したがってジニ係数は 1−2×0.300＝0.4 になります。全員が同じ所得ならローレンツ曲線が均等配分線に重なり、B＝1/2でジニ係数は0です。1世帯が所得を独り占めする極端な場合は、Bが0に近づき、ジニ係数は1に近づきます。

用語はジニ係数の用語集にあります。公式の一覧は統計検定2級の公式集にまとめています。

歪度と尖度を計算する

NISTのハンドブックは、歪度を g1＝{Σ(Yi−平均)³÷N}÷s³ と定義します。sは標準偏差で、N−1ではなくNで割って求めると明記されています。尖度は同じsを使い、{Σ(Yi−平均)⁴÷N}÷s⁴ です。同じ5世帯の所得で計算します。平均は 20÷5＝4 です。

分散はNで割るので 50÷5＝10、標準偏差sは √10≒3.162 です。3乗の平均は 180÷5＝36、s³＝10×√10≒31.62 なので、歪度は 36÷31.62≒1.14 です。歪度が正なので、右の裾が長い分布で、所得10が右に離れているという見た目と一致します。4乗の平均は 1394÷5＝278.8、s⁴＝分散の2乗＝100 なので、尖度は 278.8÷100＝2.788 です。

用語は歪度と尖度の用語集にあります。

尖度の定義は2種類ある

NISTの元の尖度では、標準正規分布の尖度は3です。ソフトウェアによっては、3を引いて標準正規分布を0にする超過尖度を出します。上の計算では、元の定義で2.788、超過尖度で 2.788−3＝−0.212 です。元の定義で3より小さいので、正規分布よりも裾が軽い側のデータです。ただし、5件では偶然の影響が大きく、形の判断に使う数ではありません。

また、NISTは、多くのソフトが標本サイズで補正した歪度（調整済みFisher-Pearson係数）を計算するとも述べています。手計算の1.14と、ソフトの出力が少しずれても、計算の間違いとは限りません。

問題文から読み取る

このページの計算例から導いた読み方です。出題を予想するものではありません。

• 「所得や資産の格差」「均等配分線」とあれば、ローレンツ曲線とジニ係数
• 「ジニ係数が大きい」は、格差が大きい（曲線が均等配分線から遠い）
• 「歪度が正」は、右の裾が長い。「歪度が負」は、左の裾が長い
• 「ジニ係数は−1から1の値を取る」という選択肢は誤り（0から1）
• 「正規分布の尖度は常に0」という選択肢は、定義の確認が必要（元の定義は3、超過尖度は0）

外れ値と箱ひげ図の読み方は箱ひげ図と四分位数のページで整理しています。

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