統計検定2級の二項分布（確率・期待値・分散の計算手順）

結論

1. 成功回数がx回になる確率は C(n,x) × p^x × (1−p)^(n−x)
2. 期待値は np、分散は np(1−p)、標準偏差は √[np(1−p)]
3. 「少なくとも1回」は、1 − (1−p)^n で求める
4. 成功確率が回ごとに変わる非復元の抽出は、二項分布ではなく超幾何分布
5. n=1のとき、二項分布はベルヌーイ分布になる

二項分布が使える条件

NIST公式ハンドブックは、各試行の成功確率pが一定で成功・失敗の2結果を持つn回の試行を、二項分布の前提として説明しています。問題を解く前に、次の4点を確かめます。

一次資料: 統計検定センター「統計検定2級 出題範囲」、NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods

確率の計算例

NISTは、二項分布の確率質量関数を P(X=x) = C(n,x) p^x (1−p)^(n−x) としています。C(n,x)は、n回のうちどのx回が成功かの選び方の数です。

計算例です（このページの架空のデータです）。当たる確率が0.3のくじを、毎回戻して5回引きます。当たりの回数をXとすると、Xは n=5、p=0.3 の二項分布に従います。

• ちょうど2回当たる確率: C(5,2) × 0.3² × 0.7³ = 10 × 0.09 × 0.343 = 0.3087
• 1回も当たらない確率: 0.7⁵ = 0.16807
• 少なくとも1回当たる確率: 1 − 0.16807 = 0.83193

もう一つ、成功確率が0.5で4回の試行なら、ちょうど2回成功する確率は C(4,2) × 0.5² × 0.5² = 6 ÷ 16 = 0.375です。「ちょうどx回」は式に代入し、「少なくとも1回」は余事象の1から引く、と使い分けます。用語は二項分布の用語集で確認できます。

期待値と分散の計算例

成功回数Xの期待値はnp、分散はnp(1−p)です。前の節のくじ（n=5、p=0.3）では、次のとおりです。

• 期待値: 5 × 0.3 = 1.5回
• 分散: 5 × 0.3 × 0.7 = 1.05
• 標準偏差: √1.05 ≒ 1.02

別の例として、n=20、p=0.3なら、期待値は20 × 0.3 = 6、分散は20 × 0.3 × 0.7 = 4.2、標準偏差は√4.2 ≒ 2.05です。期待値は平均して何回成功するか、分散はその回数のばらつきの大きさを表します。pが0.5に近いほどp(1−p)が大きくなり、同じnでもばらつきが大きくなります。 用語は期待値と分散の用語集で確認できます。

近い分布との使い分け

• ベルヌーイ分布: 1回の試行の分布。二項分布のn=1の場合にあたります（ベルヌーイ分布）
• 超幾何分布: 有限の母集団から非復元で取り出す場合。1個取り出すごとに母集団の中の割合が変わります。総数10個のうち標識要素4個から3個を取り出して標識要素がちょうど1個の確率は、C(4,1)C(6,2)÷C(10,3) = 0.5で、成功確率0.4・n=3の二項分布の0.432とは値が違います
• ポアソン分布: 所定の時間区間に起こる事象の回数の分布。平均も分散もλです。二項分布で平均λを一定に保ったままnを限りなく大きくすると、平均λのポアソン分布に近づきます（ポアソンの極限定理）
• 幾何分布: 最初の成功までの試行回数の分布。回数が結果で決まるので、回数nを固定する二項分布とは別です

二項分布の確率を正規分布で近似する方法は、中心極限定理と標準誤差のページで連続修正まで扱っています。

問題文から読み取る

問題文の言い回しから、使う分布と式を読み取れます。このページの計算例から導いた読み方で、出題を予想するものではありません。

• 「毎回戻して」「独立に」とあれば、成功確率が一定。二項分布を使う
• 「戻さずに」とあれば、超幾何分布。二項分布の式は使えない
• 「ちょうどx回」なら、C(n,x) p^x (1−p)^(n−x) に代入する
• 「少なくとも1回」なら、1 − (1−p)^n
• 「平均して何回」「ばらつき」とあれば、np と np(1−p)
• 「最初に成功するまで」とあれば、回数が決まっていないので幾何分布

よくある質問

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