用語比較
幾何分布と負の二項分布の違い
幾何分布と負の二項分布は、どちらも成功確率が一定の独立なベルヌーイ試行を繰り返す場面で使います。違いは、どこまで待つかです。幾何分布は最初の成功までを扱い、負の二項分布は第k成功を得るまでを扱います。
統計検定2級の公式出題範囲は、離散型確率分布としてベルヌーイ分布、二項分布、幾何分布、超幾何分布、ポアソン分布、負の二項分布を挙げています。成功を1回待つなら幾何分布、k回待つなら負の二項分布。k=1なら二つは一致すると覚えると、設問の条件から分布を選べます。
このページは、二項分布との区別はつくのに、幾何分布と負の二項分布の式を取り違える人を対象にしています。同じ試行を使い、確率を実際に計算して、二つの関係を確かめます。
この記事の根拠と出典
各セクションの見出しの下に、公式資料で確認した内容か編集部の整理かをラベルで示しています。 試験日・料金・申込条件・試験方式は変わることがあるため、申込前に公式サイトで確認してください。統計検定2級の一次情報確認日: 2026-10-09。
結論
幾何分布
成功確率が一定の独立なベルヌーイ試行を繰り返すとき、最初の成功までを扱う分布。最初の成功までの試行回数をTとすると、T=tとなる確率は(1-p)^(t-1)pである。
負の二項分布
同じ試行で、第k成功を得るまでの失敗回数または試行回数の分布。第k成功がx回目に起こる確率は、C(x-1,k-1)p^k(1-p)^(x-k)である。
違いを表で確認
| 比較軸 | 幾何分布 | 負の二項分布 |
|---|---|---|
| 何を待つか | 最初の成功（1回目の成功） | 第k成功（k回目の成功） |
| 確率の式（試行回数で数える場合） | (1-p)^(t-1)p | C(x-1,k-1)p^k(1-p)^(x-k) |
| パラメータ | 成功確率p | 成功確率pと、待つ成功の回数k |
| 二つの関係 | 負の二項分布のk=1の場合に当たる | k=1の場合は幾何分布に一致する |
| 数え方の注意 | 失敗回数で数える定義と試行回数で数える定義があり、後者は前者に1を加えた値 | 失敗回数で数える場合と試行回数で数える場合がある。設問の定義を確認する |
| 選択肢で探す語 | 最初の成功まで、初めて成功するまで | k回成功するまで、第k成功、2回目の成功 |
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二項分布と同じ式を使えばよいと考える人
二項分布は、試行回数nを先に決めて、その中の成功回数を数えます。幾何分布と負の二項分布は逆で、成功の回数を先に決めて、そこまでに必要な試行回数を数えます。何が決まっていて何が確率変数かを最初に読みます。
幾何分布の式の指数が t か t-1 か迷う人
最初の成功がt回目なら、それ以前のt-1回は全て失敗、t回目が成功です。失敗がt-1回で成功が1回なので、(1-p)^(t-1)pになります。
負の二項分布の式で、組合せの数をなぜ C(x-1,k-1) とするのか分からない人
第k成功がx回目に起こるので、最後の1回は必ず成功です。その前のx-1回のうち、k-1回が成功になる並べ方がC(x-1,k-1)通りです。
具体例で使い分ける
例 1
さいころで最初の6の目が3回目に出る確率
さいころを繰り返し投げ、6の目が最初に出るまでの回数を数えます。成功確率はp=1/6です。
- 最初の成功がt=3回目なので、(1-p)^(t-1)pに代入します。
- (5/6)²×(1/6)=25/216で、約0.116です。
- 1回目と2回目が6以外、3回目が6の場合の確率を、そのまま掛けた値です。
結論: 最初の成功までを数えるので、幾何分布で、確率は25/216（約0.116）です。
例 2
コインで2回目の表が4回目に出る確率
表が出る確率が1/2のコインを繰り返し投げ、2回目の表が出るまでの回数を数えます。k=2、p=1/2です。
- 第2成功がx=4回目なので、C(x-1,k-1)p^k(1-p)^(x-k)に代入します。
- C(3,1)×(1/2)²×(1/2)²=3×1/16=3/16で、0.1875です。
- 4回目が表で、1回目から3回目のうち1回が表になる並べ方が3通りです。
結論: 第2成功までを数えるので、負の二項分布で、確率は3/16（0.1875）です。
例 3
負の二項分布でk=1とおいた場合
さいころの例で、k=1、p=1/6、x=3として負の二項分布の式に代入します。
- C(2,0)×(1/6)¹×(5/6)²=1×(1/6)×(25/36)=25/216です。
- 最初の例の幾何分布の確率と同じ値になります。
- k=1の負の二項分布は、幾何分布に一致するという関係を、数値で確かめられます。
結論: k=1なら負の二項分布と幾何分布は同じ分布です。
問題文から答えを選ぶ手順
- 1
何を数えているかを読む
成功までの回数を数えているなら、幾何分布か負の二項分布です。試行回数が固定で成功回数を数えるなら二項分布です。
- 2
待つ成功の回数を確認する
最初の成功までなら幾何分布、第k成功まで（k≧2）なら負の二項分布です。
- 3
数え方を確認する
失敗回数で数えているか、試行回数で数えているかを読みます。試行回数はt、失敗回数はt-1です。
- 4
式に代入する
幾何分布は(1-p)^(t-1)p、負の二項分布はC(x-1,k-1)p^k(1-p)^(x-k)に代入します。
試験での見分け方
- 1幾何分布は、最初の成功までを扱う。
- 2負の二項分布は、第k成功を得るまでを扱う。
- 3負の二項分布でk=1とおくと、幾何分布に一致する。
- 4試行回数で数える幾何分布では、T=tとなる確率は(1-p)^(t-1)pである。
- 5第k成功がx回目に起こる負の二項分布の確率は、C(x-1,k-1)p^k(1-p)^(x-k)である。
- 6失敗回数で数える定義と試行回数で数える定義があるので、設問の定義を確認する。
誤答しやすい選択肢
幾何分布の確率を、p^(t-1)(1-p) と書く
修正: 成功と失敗が逆です。最初のt-1回が失敗で、t回目が成功なので、(1-p)^(t-1)pです。
負の二項分布の組合せの数を、C(x,k) と書く
修正: 最後の1回は必ず成功なので、並べ方を数えるのは、その前のx-1回のうち成功k-1回です。C(x-1,k-1)になります。
幾何分布と負の二項分布は、全く別の分布だと考える
修正: 負の二項分布でk=1とおくと、幾何分布に一致します。幾何分布は、負の二項分布の特別な場合です。
試行回数で数える場合と失敗回数で数える場合を区別しない
修正: 最初の成功までの試行回数は、失敗回数に1を加えた値です。設問がどちらで数えているかを確認します。
確認問題
Q1成功確率pの独立試行で、最初の成功が3回目に起こる確率は？
答え: (1-p)²p
幾何分布で、T=tとなる確率は(1-p)^(t-1)pです。t=3を代入すると(1-p)²pです。
Q2負の二項分布でk=1とおくと、どの分布に一致しますか？
答え: 幾何分布
第1成功までを扱うので、最初の成功までを扱う幾何分布に一致します。
Q3p=1/2のコインで、2回目の表が3回目に出る確率は？
答え: 1/4
C(2,1)×(1/2)²×(1/2)¹=2×1/8=1/4です。3回目が表で、1回目と2回目のうち1回が表になる並べ方が2通りです。
到達チェック
- 幾何分布が最初の成功までを扱うと説明できる
- 負の二項分布が第k成功までを扱うと説明できる
- k=1のとき二つが一致する理由を言える
- 二つの確率の式を、数え方つきで書ける
- 二項分布との違いを、確率変数の面から説明できる
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よくある質問
Q幾何分布と負の二項分布の一番短い違いは？
幾何分布は最初の成功まで、負の二項分布は第k成功までを扱います。k=1なら一致します。
Q幾何分布は、負の二項分布の特別な場合ですか？
はい。負の二項分布でk=1とおくと、幾何分布に一致します。
Q幾何分布には、複数の定義がありますか？
あります。最初の成功までの失敗回数を数える定義と、試行回数を数える定義があり、後者は前者に1を加えた値になります。設問の定義を確認してください。
Q二項分布とは何が違いますか？
二項分布は試行回数nを決めて成功回数を数えます。幾何分布と負の二項分布は、成功の回数を決めて、そこまでの試行回数または失敗回数を数えます。
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執筆: ミナト編集部（運営者情報を見る）