用語比較
ベルヌーイ分布と二項分布の違い
ベルヌーイ分布と二項分布は、どちらも結果が成功か失敗かの2通りしかない試行を扱います。違いは、試行を何回行うかです。ベルヌーイ分布は1回の試行、二項分布は同じ試行をn回繰り返したときの成功回数を扱います。
1回ならベルヌーイ分布、n回の成功回数なら二項分布。n=1の二項分布はベルヌーイ分布に一致すると覚えると、平均や分散の式も、一方から他方へ導けます。
統計検定2級の公式出題範囲は、確率分布の項目としてベルヌーイ試行と二項分布を挙げています。このページは、二つの式を別々に暗記して取り違える人を対象にしています。
この記事の根拠と出典
各セクションの見出しの下に、公式資料で確認した内容か編集部の整理かをラベルで示しています。 試験日・料金・申込条件・試験方式は変わることがあるため、申込前に公式サイトで確認してください。統計検定2級の一次情報確認日: 2026-10-09。
結論
ベルヌーイ分布
成功の確率がpの試行を1回行い、成功を1、失敗を0とする確率変数の分布。P(X=1)=p、P(X=0)=1-pで、平均はp、分散はp(1-p)である。
二項分布
成功確率pの独立な試行をn回行ったときの成功回数Xの分布。P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)で、平均はnp、分散はnp(1-p)である。
違いを表で確認
| 比較軸 | ベルヌーイ分布 | 二項分布 |
|---|---|---|
| 試行の回数 | 1回 | n回（独立な試行の繰り返し） |
| 確率変数 | 成功なら1、失敗なら0 | n回のうちの成功回数（0からnまでの整数） |
| 確率の式 | P(X=1)=p、P(X=0)=1-p | P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k) |
| 平均 | p | np |
| 分散 | p(1-p) | np(1-p) |
| 二つの関係 | n=1の二項分布に当たる | n個の独立なベルヌーイ確率変数の和の分布 |
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二項分布の平均np、分散np(1-p)を丸暗記している人
二項分布は、n個の独立なベルヌーイ確率変数の和です。1回の平均pをn回足せばnp、1回の分散p(1-p)をn回足せばnp(1-p)になります。独立なので、分散も足し算で求められます。
コイン投げが「ベルヌーイ」か「二項」か迷う人
1回の結果（表か裏か）を問うならベルヌーイ分布、10回投げたときの表の回数を問うなら二項分布です。何を確率変数にしているかで決まります。
C(n,k)がなぜ付くのか分からない人
n回のうちk回が成功になる並べ方がC(n,k)通りあり、どの並べ方でも確率はp^k(1-p)^(n-k)になるからです。n=1、k=1ならC(1,1)=1で、確率はpに戻ります。
具体例で使い分ける
例 1
不良品率0.1の製品を5個検査して、不良品が2個になる確率
製品1個が不良品である確率を0.1とし、独立に5個を検査します。不良品の個数をXとします。
- 5個の検査を繰り返し、不良品の個数を数えるので、二項分布でn=5、p=0.1です。
- P(X=2)=C(5,2)×0.1²×0.9³=10×0.01×0.729=0.0729です。
結論: 確率は0.0729です。
例 2
1個の製品が不良品かどうかを表す確率変数
同じ製品で、検査する1個について、不良品なら1、良品なら0とする確率変数Yを考えます。
- 1回の試行なので、ベルヌーイ分布でp=0.1です。
- 平均はp=0.1、分散はp(1-p)=0.1×0.9=0.09です。
- 5個の合計は二項分布で、平均は5×0.1=0.5、分散は5×0.09=0.45です。
結論: 1個ならベルヌーイ分布、5個の不良品の個数なら二項分布で、平均と分散は5倍になります。
問題文から答えを選ぶ手順
- 1
試行の回数を読む
1回の結果ならベルヌーイ分布、n回の繰り返しならその成功回数を扱う二項分布です。
- 2
何を数えているかを確認する
成功か失敗かそのもの（1か0）ならベルヌーイ分布、成功の回数なら二項分布です。
- 3
独立かどうかを確認する
二項分布は、独立な試行で成功確率が毎回同じであることが前提です。条件が崩れるなら別の分布（超幾何分布など）を疑います。
- 4
式に代入する
二項分布は平均np、分散np(1-p)。n=1とおけば、ベルヌーイ分布の平均p、分散p(1-p)に戻ります。
試験での見分け方
- 1ベルヌーイ分布は1回の試行、二項分布はn回の試行の成功回数を扱う。
- 2n=1の二項分布は、ベルヌーイ分布に一致する。
- 3二項分布は、n個の独立なベルヌーイ確率変数の和の分布である。
- 4ベルヌーイ分布の平均はp、分散はp(1-p)。
- 5二項分布の平均はnp、分散はnp(1-p)。
誤答しやすい選択肢
二項分布の分散を、np と書く
修正: np は平均です。分散は np(1-p) で、1回ぶんの分散p(1-p)をn倍したものです。
ベルヌーイ分布の分散を、p と書く
修正: p は平均です。分散は p(1-p) です。
二項分布の確率で、組合せの数C(n,k)を忘れる
修正: k回成功する並べ方がC(n,k)通りあります。p^k(1-p)^(n-k)だけでは、特定の並べ方の確率にしかなりません。
二つを別の分布と考え、関係を押さえない
修正: 二項分布でn=1とおくとベルヌーイ分布になります。ベルヌーイ分布は二項分布の特別な場合です。
確認問題
Q1成功確率0.3のベルヌーイ分布の平均と分散は？
答え: 平均0.3、分散0.21
平均はp=0.3、分散はp(1-p)=0.3×0.7=0.21です。
Q2n=10、p=0.5の二項分布の平均と分散は？
答え: 平均5、分散2.5
平均はnp=10×0.5=5、分散はnp(1-p)=10×0.5×0.5=2.5です。
Q3コインを3回投げて、表がちょうど1回出る確率は？
答え: 3/8
n=3、p=1/2の二項分布で、C(3,1)×(1/2)¹×(1/2)²=3×1/8=3/8です。
到達チェック
- ベルヌーイ分布が1回の試行、二項分布がn回の成功回数だと説明できる
- 二項分布の確率の式を、C(n,k)の意味つきで書ける
- 二つの平均と分散の式を言え、n=1で一致することを確かめられる
- 二項分布が独立なベルヌーイ確率変数の和だと説明できる
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よくある質問
Qベルヌーイ分布と二項分布の一番短い違いは？
ベルヌーイ分布は1回の試行、二項分布はn回の試行の成功回数を扱います。n=1なら一致します。
Q二項分布の分散はなぜnp(1-p)ですか？
二項分布はn個の独立なベルヌーイ確率変数の和で、独立なら分散を足せるため、p(1-p)をn個足してnp(1-p)になります。
Qベルヌーイ分布は統計検定2級に出ますか？
公式の出題範囲は、確率分布の項目としてベルヌーイ試行と二項分布を挙げています。ベルヌーイ試行1回の結果を表す分布がベルヌーイ分布です。
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執筆: ミナト編集部（運営者情報を見る）