統計検定2級の標準化・偏差値・変動係数

結論

1. 標準化（z得点）= (得点 − 平均) ÷ 標準偏差。標準化した値の平均は0、標準偏差は1
2. 偏差値 = 50 + 10 × z得点。平均が50、標準偏差が10になる
3. 偏差値は正規分布を仮定した値。偏差値70は平均+2σで、上から約2.3％
4. 変動係数 = 標準偏差 ÷ 平均。単位が違うデータのばらつきを比べるときに使う
5. 公式の出題範囲表に「偏差値」の語はない。標準化と変動係数を押さえる

標準化（z得点）の計算

総務省統計局の「なるほど統計学園」は、自分の得点と平均値との差を標準偏差で割って、平均が0、標準偏差が1になるようにすることを標準化といいます。

計算例です（このページの架空のデータです）。平均50点、標準偏差10点のテストで、得点が65点だったとします。

• 偏差（得点 − 平均）は 65 − 50 = 15
• z得点は 15 ÷ 10 = 1.5
• 得点が平均より標準偏差1.5個分だけ高い、と読む
• 得点が平均と同じ50点なら、z得点は0

z得点は「平均から標準偏差何個分離れているか」を表す、単位のない数です。用語は標準化と標準偏差の用語集で確認できます。

偏差値の求め方

なるほど統計学園は、標準化した値を10倍して50に加えると、平均が50、標準偏差が10の値が得られ、この値が偏差値であると説明しています。偏差値は、成績の分布が正規分布であると仮定して求める値です。

• 前の節の例（z得点1.5）の偏差値は 50 + 10 × 1.5 = 65
• 平均点を取った人の偏差値は 50 + 10 × 0 = 50
• 偏差値70は μ + 2σ に当たり、正規分布を仮定すると集団の上から約2.3％の位置

偏差値50が平均、10が標準偏差1つ分に当たるので、偏差値60は「平均より標準偏差1つ分上」と読めます。用語は偏差値と正規分布の用語集で確認できます。

科目をまたいで比べる例

平均や散らばりが違う科目の得点は、そのままでは比べられません。標準化して比べます。なるほど統計学園の例と同じ数字です。

得点は国語の65点のほうが高いのに、偏差値では数学の70のほうが国語の65より上で、数学のほうが良い成績です。得点の高さではなく、その科目の中での位置で比べているからです。

偏差値から得点を逆算する

偏差値の式 50 + 10 × z を逆にたどると、偏差値から元の得点を求められます。数学（平均42、標準偏差8）で偏差値60だったとして、手順は次のとおりです。

• 偏差値60から z得点を求める: (60 − 50) ÷ 10 = 1.0
• z得点から偏差を求める: 1.0 × 8 = 8（標準偏差1つ分は8点）
• 平均に足す: 42 + 8 = 50点

標準化は、すべての値から同じ数を引き、同じ数で割る変換です。そのため、値の並び順や分布の形は変わらず、平均と標準偏差の目盛りだけが変わります。標準化は順位を変えない、と覚えておくと、変換後の大小関係を問う選択肢を切り分けられます。

変動係数の計算

NISTは、標本変動係数を標本標準偏差を標本平均で割った値とし、平均に対する相対的なばらつきを表すと説明しています。意味のある0を持つ比率尺度で通常用い、平均が0に近いと、平均の小さな変化に敏感になります。

計算例です（このページの架空のデータです）。ある集団の身長と体重を比べます。

• 身長: 平均170cm、標準偏差6cm。変動係数は 6 ÷ 170 ≒ 0.035（3.5％）
• 体重: 平均60kg、標準偏差9kg。変動係数は 9 ÷ 60 = 0.15（15％）
• 標準偏差の数字は身長のほうが小さいが、cmとkgは比べられない。変動係数では体重のほうがばらつきが大きい

単位の違うデータは、標準偏差の数字どうしではなく、変動係数で比べます。用語は変動係数の用語集で確認できます。

問題文から読み取る

問題文の言い回しから、使う式を判断できます。このページの計算例から導いた読み方で、出題を予想するものではありません。

• 「平均が異なる2つの科目の得点を比べる」とあれば、標準化して比べる
• 「平均50、標準偏差10に変換する」とあれば、偏差値の式 50 + 10 × z
• 「単位が異なるデータのばらつきを比べる」とあれば、変動係数
• 「標準化した変数の平均と分散」とあれば、平均0、分散1（標準偏差1）
• 「z得点が負」とあれば、その値は平均より小さい。z = −1.0 なら、平均より標準偏差1つ分だけ低い
• 「偏差値から元の得点を求める」とあれば、(偏差値 − 50) ÷ 10 でz得点に戻し、標準偏差を掛けて平均に足す

よくある質問

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