第4章 標本分布と推定
統計検定2級の信頼区間（母平均・母比率の計算手順と95%の意味）
統計検定2級の公式出題範囲には、推測の推定として、点推定、信頼区間、信頼係数が挙がっています。信頼区間の計算は、母標準偏差が分かっているかどうかで、標準正規分布を使うかt分布を使うかが決まります。
このページは、標本平均50のデータを例に、式の選び方、区間の幅が標本サイズでどう変わるか、母比率の区間、95%の正しい読み方を順に計算で確かめます。
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結論
- 母標準偏差が既知なら、標本平均 ± 1.96 × 母標準偏差 ÷ √n が95%信頼区間
- 母標準偏差が未知なら、標本標準偏差sを使い、1.96の代わりに自由度n−1のt分布の臨界値を使う
- 区間の幅は √n に反比例する。標本サイズを4倍にすると、幅は半分になる
- 母比率の区間は、標本比率p̂から p̂ ± 1.96 × √(p̂(1−p̂)÷n)
- 95%は「区間を作る方法」の性質で、「この区間に母平均が入る確率が95%」とは読まない
式の選び方
| 推定する対象 | 信頼区間の式 | 使う分布・条件 |
|---|---|---|
| 母平均（母標準偏差が既知） | 標本平均 ± 1.96 × 母標準偏差 ÷ √n（95%） | 標準正規分布の臨界値を使う |
| 母平均（母標準偏差が未知） | 標本平均 ± t × s ÷ √n（自由度n−1） | 標本標準偏差sとt分布の臨界値を使う |
| 母比率 | p̂ ± 1.96 × √(p̂(1−p̂)÷n)（95%） | 標本サイズが大きく、p̂が0や1に近くないときの正規近似 |
| 母分散 | 下限 (n−1)s²÷χ²(1−α/2)、上限 (n−1)s²÷χ²(α/2) | 自由度n−1のカイ二乗分布の分位点を使う |
一次資料: 統計検定センター「統計検定2級 出題範囲」、NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods、NIST Dataplot参照マニュアル（母比率の信頼限界）
母標準偏差が既知のとき
正規母集団で、母標準偏差が分かっているときの母平均の100(1−α)%両側信頼区間は、標本平均 ± 標準正規分布の臨界値 × 母標準偏差 ÷ √n です。95%のときの臨界値は1.96です。
計算例です（このページの架空のデータです）。母標準偏差が6と分かっている母集団から、10個の標本を取り、標本平均が50だったとします。標準誤差は 6÷√10 ≒ 1.897、誤差の幅は 1.96×1.897 ≒ 3.72 なので、95%信頼区間は 50 ± 3.72、つまり 46.28 〜 53.72 です。標準誤差と標準偏差の違いは標準偏差と標準誤差の比較でも確認できます。
母標準偏差が未知のとき
NISTは、母平均の信頼限界を、標本平均 ± t(1−α/2, N−1) × s ÷ √N と定義しています。sは標本標準偏差、Nは標本サイズ、tは自由度N−1のt分布の100(1−α/2)パーセント点です。
上の例で、母標準偏差が分からず、10個の標本から求めた標本標準偏差が6だったとします。自由度は10−1 = 9 です。NISTのt分布の臨界値表では、累積確率0.975の臨界値は自由度9で2.262です。誤差の幅は 2.262×1.897 ≒ 4.29 になり、95%信頼区間は 50 ± 4.29、つまり 45.71 〜 54.29 です。
既知のときの 46.28 〜 53.72 より広くなりました。NISTは、標準偏差を限られたデータから推定する場合は、同じ信頼水準でも区間は必ず広くなると述べています。t分布の臨界値は、自由度1で12.706、自由度5で2.571、自由度9で2.262と、自由度が小さいほど大きく、標準正規分布の1.96より大きい値になります。
標本サイズと区間の幅
NISTは、標本サイズが増えると √N の項のために区間が狭くなり、標本標準偏差が大きいほど区間が広くなると説明しています。母標準偏差6が既知で、標本平均が50のまま、標本サイズだけを10から40（4倍）にした場合を並べます。
| 標本サイズn | 標準誤差 | 誤差の幅 | 95%信頼区間 | 区間の幅 |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 6÷√10 ≒ 1.897 | 1.96×1.897 ≒ 3.72 | 46.28 〜 53.72 | 7.44 |
| 40 | 6÷√40 ≒ 0.949 | 1.96×0.949 ≒ 1.86 | 48.14 〜 51.86 | 3.72 |
標本サイズを4倍にすると、√4 = 2 なので、区間の幅は 7.44 から 3.72 へ半分になります。精度を2倍にするには、標本サイズを2倍ではなく4倍にする必要があります。
母比率の信頼区間
NISTの母比率に対する正規近似の区間は、標本比率をp̂、標本サイズをnとして、p̂ ± 標準正規分布の臨界値 × √(p̂(1−p̂)÷n) です。標本サイズが比較的大きく、p̂が0や1に近くないときに限って使います。
計算例です。100人に尋ねて30人が「はい」と答えたとすると、p̂ = 0.3 です。√(0.3×0.7÷100) = √0.0021 ≒ 0.0458、誤差の幅は 1.96×0.0458 ≒ 0.090 なので、95%信頼区間は 0.3 ± 0.09、つまり 0.21 〜 0.39 です。平均の区間と違い、母比率では標準誤差の中にp̂自身が入っている点が、式を取り違えやすい箇所です。
95%の意味
NISTは、95%信頼区間を「真の平均がこの区間にある確率が95%」とは読まないと注意しています。計算した区間は、真の平均を含むか含まないかのどちらかです。信頼係数は、同じ大きさの標本を何度も取って区間を作ったとき、その区間が真の平均を含む割合を表します。
- 「同じ方法で100回区間を作ると、およそ95回は母平均を含む」は、正しい読み方
- 「この区間に母平均が入る確率が95%」「データの95%がこの区間に入る」は、取り違え
- 区間は標本ごとに変わる。母平均は変わらない定数として扱う
- 「信頼係数を上げると区間は狭くなる」は誤りで、広くなる
検定との関係では、母標準偏差が既知の母平均の両側検定で、帰無仮説の値が信頼区間の外側にあれば帰無仮説を棄却します。上の例の区間 46.28 〜 53.72 なら、母平均が60という仮説は有意水準5%で棄却されます。
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試験範囲を通して読むときの1冊です。読んだ章は、このサイトの章別問題で確かめられます。
よくある質問
信頼区間は、統計検定2級の公式出題範囲にありますか？
あります。統計検定センターの2級の出題範囲表は、推測の推定の項目に、点推定、推定量と推定値、有限母集団、一致性、不偏性、信頼区間、信頼係数を挙げています。
母標準偏差が未知のとき、なぜ標準正規分布ではなくt分布を使うのですか？
母標準偏差の代わりに標本から求めた標準偏差sを使うため、その分だけ不確かさが増えます。NISTも、標準偏差を限られたデータから推定する場合は、同じ信頼水準でも区間は必ず広くなると述べています。t分布は自由度が小さいほど裾が厚く、臨界値が大きくなります。
信頼係数を95%から99%に上げると、区間はどうなりますか？
広くなります。確実性を上げるぶん、区間で母数を囲む範囲を大きく取る必要があるためです。区間を狭くしたいときは、標本サイズを増やす方法があります。
「95%信頼区間に母平均が入る確率が95%」は正しいですか？
正しくありません。NISTは、計算した区間は真の平均を含むか含まないかのどちらかで、95%という水準は区間を作る方法に付くものだと説明しています。同じ方法で何度も標本を取って区間を作ると、長い目で見ておよそ95%の区間が真の平均を含む、という意味です。