第4章標本分布と推定（区間推定）

標本の大きさの決め方（誤差の幅から必要な人数を求める計算）

調査や実験の前に「誤差を何以内にしたいなら、何人に聞けばよいか」を決める計算があります。信頼区間の式の誤差の部分を目標の値に置き、標本の大きさ n について解けば、必要な人数が出ます。

このページは、母平均と母比率の2つについて、95%の水準で必要な人数を最後まで計算します。なお、統計検定2級の出題範囲表の区間推定には、母平均・母分散・母比率などの区間推定が挙げられています。ここで扱うのはその信頼区間の式を逆算する計算で、出題を予想するものではありません。

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結論

母平均：誤差を E とすると、n ≧ (1.96 × σ / E)²（95%、σは既知）
母比率：n ≧ 1.96² × p(1−p) / E²（95%）。pが分からなければ p=0.5 を入れる
計算結果が小数なら、必ず切り上げる
誤差 E を半分にしたければ、必要な人数は4倍になる
母平均の式は、標準偏差が既知であることが前提

母平均：σ=12・誤差2で計算する

母標準偏差が既知のとき、母平均の95%信頼区間は「標本平均 ± 1.96 × σ/√n」です。±のあとの部分が誤差で、これを E と置くと E = 1.96σ/√n になります。NISTのハンドブックも、誤差δを標準偏差と標本数の関係で示し、95%水準で必要な標本数を N ≧ (1.96/δ)² σ² と書いています。同じ式です。

計算例です（このページの架空のデータです）。母標準偏差が σ = 12 と分かっている測定で、母平均の推定の誤差を2以内にしたいとします。

式：n ≧ (1.96 × 12 / 2)²
かっこの中：1.96 × 12 / 2 = 11.76
2乗：11.76² ≒ 138.3
切り上げ：139

必要な標本の大きさは139です。確かめると、n=139 の誤差は 1.96 × 12 / √139 ≒ 1.995 で2以内ですが、n=138 では約2.002 となり、わずかに2を超えます。

誤差を変えると人数は2乗で効きます。誤差を1にすると約553.2で554、誤差を4にすると約34.6で35です。誤差を半分にすると、人数はおよそ4倍になります。信頼区間の基本は信頼区間の求め方で確認できます。

母比率：誤差3ポイントで計算する

母比率の信頼区間の誤差は 1.96 × √(p(1−p)/n) です。これを E と置いて n について解くと、n = 1.96² × p(1−p) / E² になります。

困るのは、調査の前には p が分からないことです。Virginia Techの教科書は、pの推定値がないときは保守的な値として0.5を使えると説明しています。p(1−p) は p=0.5 のとき最大の0.25になり、最も大きい人数を与えるので、どんな真の比率でも誤差が目標以内に収まります。p=0.6 なら 0.24、p=0.3 なら 0.21、p=0.2 なら 0.16 と、0.5から離れるほど小さくなります。

計算例です（架空の調査です）。支持率を95%の水準で、誤差3ポイント（0.03）以内で推定したいとします。

式：n ≧ 1.96² × 0.5 × 0.5 / 0.03²
分子：3.8416 × 0.25 = 0.9604
分母：0.03² = 0.0009
割り算：0.9604 / 0.0009 ≒ 1067.1
切り上げ：1068

pの見当がつかないときの必要人数は1068人です。事前に「支持率は2割前後」と分かっていれば、p=0.2 を使って 3.8416 × 0.16 / 0.0009 ≒ 683.0 で683人に減らせます。その代わり、見当が外れて真のpが0.5に近いと、誤差が目標を超えるおそれがあります。

誤差の幅と必要な人数の対応

p=0.5・95%のとき、誤差の幅ごとの必要人数は次のとおりです。

目標の誤差	1.96² × 0.25 / E²	必要な標本の大きさ
5ポイント（0.05）	384.16	385人
3ポイント（0.03）	1067.11	1068人
2ポイント（0.02）	2401	2401人
1ポイント（0.01）	9604	9604人

誤差を5ポイントから1ポイントへ5分の1にすると、人数は385人から9604人へ約25倍になります。誤差が2乗で効くためです。Wikipediaの「Sample size determination」にも、95%信頼区間の幅が2ポイント（誤差1ポイント）のとき9604が必要だという同じ例があります。

小数は切り上げる

式は「n ≧ …」の形です。必要なのは、誤差が目標以下になる最小の整数です。母平均の例の138.3や、母比率の例の1067.1を四捨五入して138や1067にすると、誤差が目標をわずかに超えます。実際、n=1067 の誤差は約0.03000、n=1068 では約0.02999 で、1068で初めて0.03以内になります。

誤差0.02のようにちょうど割り切れる場合は、2401のまま答えます。小数が少しでも残れば、常に切り上げと覚えれば足ります。