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分散と標準偏差の違い｜単位・平方根の関係・使い分け（統計検定2級・DS検定）

分散と標準偏差の違いは単位で、分散は元のデータの単位の2乗、標準偏差は元のデータと同じ単位になります。どちらもデータの散らばりを表す指標で、標準偏差は分散の正の平方根です。

統計検定2級やDS検定では、単位を元のデータにそろえて読みたいなら標準偏差、計算の途中で足し算や比較をするなら分散と使い分けます。標準化や偏差値の計算で使うのは標準偏差です。

この記事の根拠と出典

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分散と標準偏差の要点

分散

各データと平均との差（偏差）を2乗して平均した値。偏差の平均は必ず0になるため、2乗してから平均する。単位は元のデータの単位の2乗になる。

標準偏差

分散の正の平方根。元のデータと単位がそろうので、平均と並べて「平均±標準偏差」のように読める。標準化や偏差値の計算にも使う。

違いを表で確認

比較軸分散標準偏差
定義偏差の2乗の平均分散の正の平方根
単位元のデータの単位の2乗（点なら点²）元のデータと同じ単位（点なら点）
データを a 倍したときa² 倍になる|a| 倍になる
データに定数 b を足したとき変わらない変わらない
平均と並べて読めるか単位が違うので、そのままでは並べにくい単位が同じなので「平均±標準偏差」と書ける
試験で見る語分散、偏差平方和、散らばりの2乗、分散の加法性標準偏差、標準化、偏差値、元の単位に戻す

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どこで迷っているかを切り分ける

01

分散と標準偏差のどちらを答えるのか迷う人

問題文が「分散」と求めているなら、偏差の2乗の平均を答えます。「標準偏差」と求めているなら、その平方根まで計算して答えます。分散の値を出したところで止めると、標準偏差の設問では誤答になります。

02

データを何倍かにしたときの変わり方を取り違える人

データをすべて a 倍にすると、標準偏差は |a| 倍ですが、分散は a² 倍になります。10倍なら標準偏差は10倍、分散は100倍です。平方根の関係を使うと、一方からもう一方を導けます。

03

偏差値や標準化で、分散のまま割ってしまう人

標準化は、得点と平均との差を標準偏差で割って、平均を0、標準偏差を1にする操作です。分散で割ると、単位が元のデータとそろわず、標準偏差が1になりません。

具体例で使い分ける

例 1

2, 4, 6, 8, 10 の分散と標準偏差を求める

5人の小テストの得点が2点、4点、6点、8点、10点でした。得点全体を母集団として、分散と標準偏差を求めます。

  • 平均は(2+4+6+8+10)÷5=6点です。
  • 偏差は-4、-2、0、2、4で、2乗は16、4、0、4、16です。偏差の2乗の合計は40です。
  • 分散は40÷5=8（点²）です。標準偏差は√8≒2.83（点）です。
  • 分母を n-1 とする不偏分散にすると、40÷4=10（点²）、その平方根は√10≒3.16（点）になります。

結論: 分散は8点²、標準偏差は約2.83点です。標準偏差は元の得点と同じ「点」で読めます。分母を n と n-1 のどちらにするかは問題文の指定に従います。

例 2

全員の得点を10倍にする

同じ5人の得点を10倍した20点、40点、60点、80点、100点で、分散と標準偏差を求め直します。

  • 平均は60点で、偏差は-40、-20、0、20、40です。2乗の合計は4,000です。
  • 分散は4,000÷5=800です。もとの8の100倍です。
  • 標準偏差は√800≒28.28です。もとの約2.83の10倍です。

結論: データを10倍にすると、標準偏差は10倍、分散は10²=100倍になります。

例 3

全員の得点に5点を足す

もとの2点、4点、6点、8点、10点に、全員5点を足した7点、9点、11点、13点、15点で求め直します。

  • 平均は11点になり、もとの6点より5点増えます。
  • 偏差は-4、-2、0、2、4のままです。全員が同じだけ動くので、平均との差は変わりません。
  • したがって分散は8、標準偏差は約2.83のままです。

結論: 定数を足しても、分散も標準偏差も変わりません。散らばりは平均の位置ではなく、平均との差で決まります。

問題文から答えを選ぶ手順

  1. 1

    何を求めるかを読む

    問題文が「分散」「標準偏差」のどちらを求めているかを確認します。母集団か標本かで、分母が n か n-1 かも合わせて確認します。

  2. 2

    偏差の2乗の合計を出す

    平均を求め、各データとの差を2乗して合計します。ここまでは分散も標準偏差も共通です。

  3. 3

    分母で割って分散にする

    合計を分母で割れば分散です。標準偏差を聞かれているときだけ、ここで平方根をとります。

  4. 4

    単位と倍率を見直す

    標準偏差は元の単位、分散は単位の2乗になっているかを確認します。データを a 倍する問題なら、標準偏差は |a| 倍、分散は a² 倍で検算します。

試験での見分け方

  • 1標準偏差は、分散の正の平方根。
  • 2分散の単位は元のデータの単位の2乗、標準偏差の単位は元のデータと同じ。
  • 3データを a 倍すると、標準偏差は |a| 倍、分散は a² 倍になる。
  • 4データに定数を足しても、分散も標準偏差も変わらない。
  • 5標準化や偏差値の計算では、分散ではなく標準偏差で割る。

誤答しやすい選択肢

標準偏差を求める問題で、分散の値のまま答える

修正: 標準偏差は分散の平方根です。分散が8なら、標準偏差は√8≒2.83です。

データを a 倍すると、分散も a 倍になると考える

修正: 分散は偏差の2乗の平均なので a² 倍になります。a 倍になるのは標準偏差のほうです（負の a なら |a| 倍）。

定数を足すと、散らばりも大きくなると考える

修正: 全員に同じ値を足すと平均も同じだけ動き、偏差は変わりません。分散も標準偏差も変わりません。

標準化で、標準偏差ではなく分散で割る

修正: 標準化は、平均との差を標準偏差で割ります。こうすると平均が0、標準偏差が1になります。

確認問題

Q1分散が25のとき、標準偏差はいくつ？

答え: 5

標準偏差は分散の正の平方根なので、√25=5です。

Q2データをすべて3倍にすると、標準偏差が2のデータの分散はいくつになる？

答え: 36

もとの分散は2²=4です。3倍にすると分散は3²=9倍になるので、4×9=36です。標準偏差は2×3=6で、6²=36とも一致します。

Q3平均50点・標準偏差10点のテストで、全員に5点を足すと、標準偏差はいくつになる？

答え: 10点

定数を足しても散らばりは変わりません。平均は55点になりますが、標準偏差は10点のままです。

Q4長さをセンチメートルで測ったデータの分散の単位は？

答え: 平方センチメートル（cm²）

分散は偏差を2乗するので、単位も2乗になります。標準偏差の単位はセンチメートル（cm）です。

到達チェック

  • 標準偏差が分散の正の平方根だと説明できる
  • 分散の単位が元のデータの単位の2乗になる理由を説明できる
  • データを a 倍したときの、分散と標準偏差の変わり方を言える
  • 定数を足しても分散と標準偏差が変わらない理由を説明できる
  • 標準化や偏差値で標準偏差を使う理由を説明できる

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よくある質問

Q分散と標準偏差は何が違う？

A

標準偏差は分散の正の平方根です。分散は単位が元のデータの2乗になり、標準偏差は元のデータと同じ単位になります。総務省統計局の「なるほど統計学園」も、もとの変量と単位をそろえるために分散の正の平方根をとったものを標準偏差と説明しています。

Qなぜ偏差の平均ではなく、2乗して平均するの？

A

偏差の平均は必ず0になり、散らばりを比べられないためです。偏差を2乗してから平均する値を分散といいます。

Q標準偏差が大きいと、どう読める？

A

データ全体の散らばりが大きいと読めます。同じ平均でも、標準偏差が大きいほど、平均から離れた値が多いことを表します。

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執筆: AI資格ドリル編集部（運営者情報を見る）