統計検定2級の母分散の区間推定と検定

結論

1. (n−1)s²÷σ²が、正規母集団では自由度n−1のカイ二乗分布に従う
2. 検定の統計量はT=(n−1)s²÷σ₀²で、自由度n−1のカイ二乗分布の点と比べる
3. 母分散の信頼区間は、下限が(n−1)s²÷上側α/2の点、上限が(n−1)s²÷下側α/2の点で、左右対称にならない
4. 母標準偏差の信頼区間は、母分散の下限と上限の平方根

母分散の区間推定の計算例

Penn State STAT 414は、正規母集団の標本について、(n−1)s²/σ²が自由度n−1のカイ二乗分布に従うと述べています。これを変形すると、母分散σ²を挟む区間が作れます。NISTも、検定の式を変えると分散の区間推定になり、標準偏差の区間はその平方根になると説明しています。

標本サイズ10、偏差平方和Σ(x−x̄)²=36の標本を使います。不偏分散はs²=36÷9=4、自由度は9です。自由度9のカイ二乗分布の点は次のとおりです。

• 95%信頼区間の下限: 36÷19.023≒1.892(上側2.5%の点で割る)
• 95%信頼区間の上限: 36÷2.700≒13.333(下側2.5%の点で割る)
• 母標準偏差の95%信頼区間: √1.892≒1.376から√13.333≒3.651

下限には大きい点、上限には小さい点で割るので、割る点の大小が逆になります。点推定値の4から、下側へは約2.1、上側へは約9.3離れており、区間は右に長く伸びます。表の引き方は統計数値表の見方で確認できます。

母分散の検定の計算例

NISTは、帰無仮説をσ²=σ₀²とし、統計量をT=(N−1)(s/σ₀)²と定めています。標本標準偏差sと目標の標準偏差σ₀の比が1から離れるほど、帰無仮説を棄却しやすくなります。同じ標本(偏差平方和36、自由度9)で、帰無仮説と対立仮説を変えた3通りを計算します。

両側検定の棄却域は、下側2.5%の点2.700より小さいか、上側2.5%の点19.023より大きい範囲です。片側検定は、対立仮説の向きに5%分をまとめて置くので、下側なら3.325、上側なら16.919が境目です。σ²=9の両側検定で棄却できないのは、9が95%信頼区間1.892〜13.333の中にあるためで、区間推定と検定の結論は一致します。σ²=16は区間の外にあり、両側検定でもT=2.25が2.700より小さいので棄却されます。検定全体の流れは仮説検定の流れにまとめています。

母平均の区間推定との違い

同じ標本で、母平均と母分散の区間推定を並べると、使う分布と区間の形が違います。

• 母平均: 自由度n−1のt分布を使い、推定値±(臨界値×標準誤差)の形で左右対称
• 母分散: 自由度n−1のカイ二乗分布を使い、(n−1)s²を2つの点で割る形で、左右対称にならない
• どちらも、標本サイズnから自由度n−1を求める点は同じ

平均の区間は「足し引き」、分散の区間は「割り算」と覚えると、式の取り違えを防げます。3つの分布の作られ方はt分布・カイ二乗分布・F分布の関係に、母平均の区間推定は信頼区間の計算に、2つの母分散の比は分散比のF検定にまとめています。

間違えやすい点

取り違えを、このページの例で4つ挙げます。

• 下限と上限の点を逆にする: 下限は上側2.5%の点19.023、上限は下側2.5%の点2.700で割ります。
• (n−1)を掛け忘れる: 偏差平方和36は(n−1)s²に等しいので、s²=4に9を掛けた値です。s²のまま割ると区間が9分の1になります。
• 自由度をnにする: n=10なら自由度は9です。
• 標準偏差の検定でsとσ₀を2乗し忘れる: T=(N−1)(s/σ₀)²で、比を2乗します。

問題文が標準偏差で与えられたら、2乗して分散にしてから統計量に入れます。

問題文から読み取る

問題文の言い回しから、手順を選べます。このページの整理から導いた読み方で、出題を予想するものではありません。

• 「母分散の95%信頼区間」とあれば、(n−1)s²を、自由度n−1のカイ二乗分布の上側2.5%の点と下側2.5%の点で割る
• 「ばらつきが基準より大きくなったか」とあれば、上側の片側検定
• 「母標準偏差の信頼区間」とあれば、母分散の下限と上限の平方根
• 「分散が等しいか」と2群で聞かれたら、このページではなくF検定

よくある質問

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