統計検定2級 第4章 標本分布と推定 予想問題と解説

正解は「標準誤差」である。標準誤差は、標本平均のような推定量を標本を取り直すたびに計算した場合、その値が標本ごとにどの程度ばらつくかを表す指標である。中央値はデータを小さい順に並べたときに中央に来る値であり、代表値の一種であって標本ごとのばらつきを表す指標ではない。最頻値はデータの中で最も多く現れる値を指す代表値であり、これも標本平均のばらつきとは別の概念である。変動係数は標準偏差を平均で割った相対的なばらつきの指標であり、1つの標本内でのデータのばらつきを表すものであって、標本平均が標本ごとにどれだけ変動するかを表す指標ではない。

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正解は「区間推定」である。母平均などの母数を、標本から幅をもつ区間として推定する方法を区間推定といい、その区間は信頼区間、区間の信頼度は信頼係数として表される。同じ「推定」という営みでも、1つの値だけを答える点推定とは推定結果の形が異なる。「適合度検定」は観測度数が想定した分布にどれだけ当てはまるかを調べる検定であり、母数を区間として求める推定の枠組みとは目的が異なる。「単回帰分析」は1つの量的変数からもう1つの量的変数を直線で説明する分析であり、母数の区間を求める操作ではない。

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正解は「中心極限定理」である。中心極限定理は、一定の条件のもとで標本サイズが大きくなると、標本平均の分布が正規分布に近づくことを述べる定理である。ベイズの定理は確率の更新、最小二乗法は回帰分析、独立性の検定はカテゴリ変数の関連を調べる検定であり、標本平均の分布に関する定理ではない。 選択肢ごとの差は次のように整理できる。「ベイズの定理」は誤答側で、誤答。「ベイズの定理」は事前の確率を観測情報に基づいて更新する定理であり、標本平均の分布が正規分布に近づくことを述べる定理ではない。「中心極限定理」は正解側で、正解。「中心極限定理」は、一定の条件のもとで標本サイズが大きくなると、標本平均の分布が正規分布に近づくことを述べる定理である。「最小二乗法」は誤答側で、誤答。「最小二乗法」は回帰分析において回帰直線を求めるために用いられる方法であり、標本平均の分布が正規分布に近づくことを述べる定理ではない。「独立性の検定」は誤答側で、誤答。「独立性の検定」はカテゴリ変数間の関連を調べる検定であり、標本平均の分布が正規分布に近づくことを述べる定理ではない。

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正解は「不偏分散」である。不偏分散は、母分散を偏りなく推定するために、平均との差の2乗和を標本サイズnではなくn-1で割って求める分散である。標本平均は平均の推定量、相関係数は2変数の直線的関係、決定係数は回帰モデルの説明力を表す指標である。 選択肢ごとの差は次のように整理できる。「標本平均」は誤答側で、誤答。「標本平均」は母平均を推定するための平均の推定量であり、平均との差の2乗和をn-1で割って求める分散ではない。「相関係数」は誤答側で、誤答。「相関係数」は2つの変数間の直線的な関係の強さを表す指標であり、母分散を偏りなく推定するための分散ではない。「不偏分散」は正解側で、正解。「不偏分散」は、母分散を偏りなく推定するために、平均との差の2乗和を標本サイズnではなくn-1で割って求める分散である。「決定係数」は誤答側で、誤答。「決定係数」は回帰モデルがデータをどれだけ説明できるかを表す指標であり、母分散を推定するための分散ではない。

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正解は「点推定」である。母平均や母比率などの母数を1つの値で推定する方法を点推定という。区間推定は幅をもつ区間として推定する方法、棄却域は仮説検定で帰無仮説を棄却する領域、独立性の検定はカテゴリ変数の関連を調べる検定である。 選択肢ごとの差は次のように整理できる。「区間推定」は誤答側で、誤答。「区間推定」は母数を一定の幅をもつ区間として推定する方法であり、母数を1つの値で推定する点推定とは異なる。「棄却域」は誤答側で、誤答。「棄却域」は仮説検定において帰無仮説を棄却するかどうかを判断する領域を指し、母数を1つの値で推定する方法ではない。「独立性の検定」は誤答側で、誤答。「独立性の検定」はカテゴリ変数間に関連があるかどうかを調べる検定であり、母数を1つの値で推定する方法ではない。「点推定」は正解側で、正解。「点推定」は、母平均や母比率などの母数を1つの値で推定する方法であり、設問が問う「母数を1つの値で推定する」という条件に直接対応する。

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正解は「標本分布」である。標本分布は、母集団から標本を繰り返し取り、それぞれの標本から計算した標本平均などの統計量がつくる分布であり、設問の定義に直接対応する。クロス集計表は、2つのカテゴリ変数の組み合わせごとの度数をまとめた表であり、標本統計量が繰り返しの抽出によってつくる分布とは性質が異なる。回帰直線は、説明変数と目的変数の関係を最小二乗法によって直線に当てはめたものであり、標本を繰り返し取って得られる統計量の分布を表す概念ではない。余事象は、ある事象Aが起こらない場合を表す確率の基礎の概念であり、標本調査を繰り返して得られる統計量の分布とは分野そのものが異なる。以上より、統計量が従う分布を問う設問に対応するのは標本分布だけである。

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正解は「標本平均」である。標本平均は、実際に抽出した標本のデータを合計し、標本の大きさで割って計算する平均であり、「標本から計算した平均」という設問の定義に直接対応する。母平均は母集団全体の平均であり、通常は値が未知で、標本平均をもとに推定する対象になる点で、標本から直接計算できる標本平均とは前提が異なる。母比率は母集団全体におけるある属性の割合を表す量であり、平均ではなく比率を対象とする点で異なる。期待度数は、カイ二乗検定で帰無仮説が正しいと仮定したときに想定される度数であり、標本から計算する平均とは計算方法も用途もまったく異なる。したがって、標本のデータから直接求める平均を問う設問には標本平均が対応する。

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正解は「信頼係数」である。信頼係数は、母平均や母比率などを区間推定する信頼区間を作る手続きの信頼の程度を表す値である。p値は仮説検定で帰無仮説のもとでの確率を表す指標、決定係数は回帰モデルの当てはまりの良さを表す指標、相関係数は2変数の直線的関係の強さと向きを表す指標であり、いずれも信頼係数とは異なる概念である。 指標名ではなく、どの分析手続きに付随する値かを確認する。仮説検定のp値、回帰の決定係数、2変数関係の相関係数ではなく、区間推定の信頼区間と対になる信頼係数を選ぶ。

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正解は「母比率」である。母集団全体における比率を母比率という。標本から母比率を推定する場面では、標本比率をもとに点推定や区間推定を考える。母比率は回帰分析で使う回帰係数ではなく、検定や分布で使う自由度でもなく、標本調査に伴う標本誤差そのものでもなく、母平均や母分散と同様に推定の対象となる指標として区別しておく必要がある。 判断では、推定したい対象・分析上の係数・分布の量・調査に伴う誤差を分ける。標本比率から母集団全体の比率を推定する設問なので、回帰係数や自由度、標本誤差ではなく母比率を選ぶ。

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正解は「t分布・カイ二乗分布・F分布」である。t分布、カイ二乗分布、F分布は、標本分布や推定・検定で用いられる分布として公式出題範囲に含まれる。散布図や箱ひげ図はデータの記述、平均・中央値・最頻値は代表値、相関・因果・層別は2変数データやデータの見方に関する概念であり、標本分布で用いる分布の組み合わせではない。 名称を、図表、代表値、データ解釈、確率分布の4群に分類すれば、標本分布や検定に用いる分布名だけをまとめた組を特定できる。 名称を、図表、代表値、データ解釈、確率分布の4群に分類すれば、標本分布や検定に用いる分布名だけをまとめた組を特定できる。語の種類をそろえて判定する。

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正解は「標本から母分散を推定するとき、標本分散の偏りを補正するため」である。不偏分散を使う場面では、手元の標本から母集団の分散である母分散を推定することが目的になる。標本分散が母分散を過小に見積もりやすいという偏りを補正する点が、不偏分散を選ぶ直接の理由である。問題文では、何を推定するのかを先に母分散へ固定し、補正対象が標本分散の偏りかを確認する。標本平均と母平均を必ず一致させる操作でも、回帰直線の残差を消す操作でも、変数の型を変える操作でもない。

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正解は「一定の条件のもとで、標本平均の分布が正規分布に近づくことを述べる定理である」である。中心極限定理で見る対象は、1つ1つの観測値そのものではなく、標本平均を繰り返し考えたときの分布である。一定の条件のもとで、その標本平均の分布が正規分布に近づくという対応を押さえる。問題文では「何の分布か」と「何に近づくか」を分けて読めば、標本平均と正規分布の組合せを選べる。中央値との一致、相関と因果の関係、クロス集計表の自由度は、いずれも中心極限定理が述べる内容ではない。

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正解は「カイ二乗分布」である。カイ二乗分布は、正規母集団の分散に関する推定や検定、またカテゴリカルデータの検定などで用いられる。ベルヌーイ分布やポアソン分布は離散型確率分布、一様分布は連続型確率分布であり、母分散の推定で中心的に使う分布とは異なる。 分布は典型的な確率変数・用途で対応させる。ベルヌーイ分布は1回の二値試行、一様分布は区間内で一定の密度、ポアソン分布は区間内の発生回数を表す。正規母集団の標本分散を尺度調整した統計量に対応するのはカイ二乗分布である。

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正解は「点推定」である。点推定は、母平均や母比率などの母数を標本から1つの値で推定する方法である。区間推定は幅をもつ区間として推定する方法、独立性の検定はカテゴリ変数の関係を調べる検定、重回帰分析は複数の説明変数を扱う回帰分析である。 推定結果の形を確認する。一つの値を提示する点推定に対し、区間推定は下限と上限を持つ幅で母数を捉える。独立性の検定はカテゴリ変数間の関係、重回帰分析は複数説明変数による目的変数のモデル化であり、母数の単一推定法ではない。

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正解は「標準誤差が大きいほど、同じ信頼係数なら信頼区間は広くなりやすい」である。信頼区間の幅は標準誤差と信頼係数の影響を受けるため、方向を判断するときは片方の条件を固定する。この問題では「同じ信頼係数」という条件があるので、比較するのは標準誤差の大小だけである。推定量のばらつきを表す標準誤差が大きくなれば、区間は広くなりやすい。標準誤差が大きいほど1点になるという説明は方向が逆であり、信頼係数を回帰直線の傾きとする説明や、区間推定で母平均・母比率を扱わないという説明も対象を取り違えている。

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正解は「標準誤差は標本平均などの推定量のばらつきを表す」である。標準誤差は、標本平均などの推定量が標本ごとにどの程度ばらつくかを表し、標本分散とは異なり信頼区間を求める際にも用いられる。データ中で最も多く現れる値は最頻値であり、標準誤差とは異なる。クロス集計表はカテゴリ変数の度数を整理する表、相関係数を1にする処理は標準誤差の説明とは無関係である。 標準偏差は個々の観測値の散らばり、標準誤差は標本を取り直したときの推定量の標本分布の散らばりを表す。最頻値、クロス集計表、相関係数の変換はいずれも推定精度を表す標準誤差とは異なる。

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正解は「母分散が未知の母平均に関する推定や検定で、標本からばらつきを推定する場面」である。t分布は、母分散が未知のときに標本からばらつきを推定し、母平均について推定や検定を行う場面で用いる。カテゴリ変数の期待度数はカイ二乗検定、成功回数は二項分布、決定係数は回帰モデルの当てはまりに関係する。何を推定するかだけでなく、母分散が既知か未知か、ばらつきを標本から推定するかを確認すると、t分布を使う条件へ絞れる。推定対象が母平均でも、母分散の扱いを読まずに分布を決めない。

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正解は「標本分布や分散に関する推定・検定の文脈で用いられる」である。F分布は標本分布の一つであり、分散に関する推定や検定の文脈で用いられる。複数のばらつきを比較する場面と関係が深い分布として押さえる。F分布は中央値と最頻値だけを比較する図ではなく、ベイズの定理の別名でもなく、クロス集計表の各セル名でもなく、これらはF分布とは別の概念として区別しておく必要がある。 F分布は独立なカイ二乗変数を自由度で割った量どうしの比に関係し、分散分析や分散比の検定で現れる。代表値を描く図、条件付き確率の定理、度数表のセル名称ではないため、標本分布・分散の文脈を選ぶ。

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正解は「標本から得た区間で母平均を推定する手続きであり、信頼係数と合わせて解釈する」である。母平均の区間推定では、標本から得た推定量と標準誤差を使って信頼区間を作り、信頼係数と組み合わせて解釈する。信頼区間は帰無仮説が正しい確率ではなく、標準誤差は区間の幅に関わるため無視できない。相関係数は二変数の直線的な関係の強さを表す単一の指標であり、母平均を推定する区間ではない。推定対象、区間を作る材料、解釈の組合せを確認する。区間と確率の対象を取り違えないことが重要である。

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正解は「母集団のばらつきの大きさを、標本分散や不偏分散を手がかりに考える場面」である。母分散は母集団全体のばらつきを表す母数であり、直接観測できない母集団のばらつきを、標本分散や不偏分散から推定する。独立性の検定は二つのカテゴリ変数の関連、重回帰分析は複数の説明変数と目的変数の関係、余事象はある事象が起こらない確率を扱う。推定対象が母集団のばらつきか、標本から得る手がかりが分散かを確認して選ぶ。母集団と標本のどちらの量かも明確に区別する。

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正解は「標本を取り直したときに標本平均がどの程度ばらつくかを理解するため」である。標本平均の標本分布を考えると、標本を取り直したときに標本平均がどの程度ばらつくかを理解できる。これは標準誤差や推定の理解につながる。すべての標本平均を母平均と必ず一致させるためではなく、クロス集計表の期待度数をなくすためでもなく、相関係数から因果を直接証明するためでもなく、あくまで推定の精度を把握するための考え方である。標本分布が捉えるのは標本平均のばらつきであり、母平均との一致・期待度数・因果の証明という他章の概念と取り違えていないかを確かめる。

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正解は「点推定は1つの値で推定し、区間推定は幅をもつ区間で推定する」である。点推定は母平均や母比率などの母数を1つの値で推定する方法であり、区間推定は信頼区間のように幅をもつ区間で母数を推定する方法である。点推定は仮説検定そのものではなく、区間推定も回帰分析そのものではない。どちらも標本から母数を推測する方法であり、母数を扱わない、標本を扱わないという説明は誤りで、クロス集計表の別名でもない。点推定と区間推定の違いは推定結果を1つの値で示すか幅のある区間で示すかであり、検定・回帰分析・クロス集計表という別の手法の名称にすり替えていないかで見分ける。

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正解は「母集団全体における割合を、標本から幅をもつ区間として推定する」である。母比率の区間推定では、母集団全体における割合を、信頼係数を踏まえて標本から幅をもつ区間として推定する。回帰直線の残差を0にすることは最小二乗法に関わる話であり、標本分散を母分散と必ず一致させることや2つの事象を必ず独立にすることは、いずれも区間推定とは別の前提や操作である。母比率の区間推定が対象とするのは母集団の割合であり、残差・標本分散と母分散の一致・事象の独立性という別の概念にすり替わっていないかで見分ける。

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正解は「同じ標本情報なら、より広い信頼区間になりやすい」である。同じ標本情報のもとで信頼係数を高くすると、母数を含むように区間をより広く取ることになるため、信頼区間は広くなりやすい。信頼区間が必ず1点になるという説明、母平均と母比率が必ず同じ値になるという説明、p値が必ず0になるという説明は、信頼係数と信頼区間の関係とは無関係であり、いずれも誤りである。 信頼係数を上げると対応する臨界値が大きくなり、同じ標準誤差でも誤差幅が広がる。区間が一点へ縮む方向ではなく、母平均と母比率を同一にする効果もなく、仮説検定のp値を0へ固定する操作でもない。

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正解は「母平均、母比率、母分散など、母集団の特徴を表す量」である。母数は、母集団の特徴を表す量であり、母平均、母比率、母分散などが含まれる。標本から推定したい対象そのものを指すため、推定や検定の前提になる。母数は標本から必ず除外する外れ値だけを指す言葉ではなく、回帰直線の図だけを指す言葉でもなく、余事象の一覧表だけを指す言葉でもなく、それぞれ別の概念として区別する必要がある。 母数は観測した標本そのものではなく、母集団全体を特徴づける固定だが通常未知の量である。母平均・母比率・母分散が代表例で、外れ値の一覧、回帰図、余事象表というデータ表示や事象の集合ではない。

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正解は「母分散を推定するとき、標本から計算した分散の偏りを意識する必要があるため」である。標本から母分散を推定するとき、標本分散には偏りがあるため、不偏分散を用いて補正する考え方が重要になる。標本分散の値は母平均とは別の指標であり、必ず一致するとは限らない。不偏分散は回帰直線の別名ではなく分散の推定量であり、カテゴリ変数の期待度数はクロス集計表で使われる値であって、標本分散が表すばらつきとは無関係である。標本分散と不偏分散の違いは、母分散という同じ推定対象に対する2通りの計算方法の違いとして理解する。

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正解は「標本平均の分布を正規分布で近似して考える根拠になるため」である。中心極限定理は、一定の条件のもとで標本平均の分布が正規分布に近づくことを示す考え方であり、推定や検定で正規分布を用いた近似を考えやすくする根拠になる。すべての標本分散を必ず0にするという説明、相関があれば因果関係を必ず証明するという説明、クロス集計表の自由度を使わなくするという説明は、いずれも誤りである。 独立同分布などの条件下で標本サイズが大きくなると、元の母集団分布が正規でなくても標本平均の分布は正規分布へ近づく。この性質が平均の区間推定や検定の近似を支える。標本分散を0にせず、因果証明や自由度の不要化とも関係しない。 比較対象には「すべての標本分散を必ず0にするため」、「相関があれば因果を必ず証明するため」、「クロス集計表の自由度を使わなくするため」も含まれる。

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正解は「平均という量を推定するのか、割合という量を推定するのかを区別する」である。母平均は母集団の平均、母比率は母集団における割合を表し、平均という量を推定するのか割合という量を推定するのかで推定対象が異なる。どちらも標本から母集団を推測する点は共通し、母平均の推定で標本を使わない、母比率の推定で母集団を考えないという説明は誤りである。母平均と母比率は常に同じ値にならず、カテゴリ変数や回帰係数だけを表すものでもない。推定量が量的な平均なのか、カテゴリの割合なのかを区別することが、母平均と母比率の推定を混同しないための出発点になる。

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正解は「標本ごとの推定量のばらつきが小さいと考えられる」である。標準誤差は標本平均などの推定量が標本ごとにどの程度ばらつくかを表す指標であり、値が小さいほど推定量のばらつきが小さいと考えられる。標準誤差が小さくても、母集団のばらつきを表す母分散が必ず0になるわけではない。信頼区間の精度を表す信頼係数が必ず0になることも、回帰係数が必ず1になることも意味せず、いずれも標準誤差とは別の概念である。 標準誤差は個々の観測値ではなく標本平均など推定量のばらつきを表す。小さいほど標本を取り直した際の推定値が安定する。母分散、信頼係数、回帰係数は異なる量で、標準誤差が小さいことから特定値0・1へ固定されない。 比較対象には「母分散が必ず0であることを意味する」、「信頼係数が必ず0になることを意味する」、「回帰係数が必ず1になることを意味する」も含まれる。

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正解は「分散に関する推定や検定、カテゴリカルデータの検定などで使われる場面」である。カイ二乗分布は、分散に関する推定や検定、およびカテゴリカルデータのカイ二乗検定（適合度検定・独立性の検定）で標本分布として使われる。2つの量的変数の関係を見る散布図、代表値としての平均と中央値の比較、事象が起こらない確率を表す余事象とは、いずれも扱う対象が異なる。分散に関する推定であれば母分散の区間推定、カテゴリカルデータであればカイ二乗検定というように、カイ二乗分布は具体的な推定・検定の場面で標本分布として用いられる。

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正解は「標本分散の偏りを補正し、母分散を推定するため」である。不偏分散は、標本分散が母分散を過小に見積もりやすい点を、標本サイズnではなくn-1で割ることで補正し、母分散を推定するために使われる。帰無仮説は検定で棄却の対象となる仮説、相関係数は2変数の関係の強さ、期待度数はカイ二乗検定で想定される度数であり、いずれも不偏分散とは別の概念である。 標本平均を使って偏差を計算したことで失う自由度1を反映し、分母をnではなくn-1にする補正が母分散の不偏推定につながる。 標本平均を使って偏差を計算したことで失う自由度1を反映し、分母をnではなくn-1にする補正が母分散の不偏推定につながる。

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正解は「点推定で代表的な推定値を見て、信頼区間で推定の不確実性も確認できる」である。点推定は母数を1つの値で示す方法であり、信頼区間は母数がどの程度の幅に収まりそうかを区間で示す方法である。両方を合わせて見ることで、代表的な推定値と、その推定がどれだけ幅を持つかという不確実性の両方を確認できる。点推定を使ったからといって信頼区間の精度を表す信頼係数が必ず0になるわけではなく、信頼係数は区間の設定の仕方によって決まる値である。信頼区間は母数がどの範囲に収まりそうかという幅を表すものであり、相関係数の符号だけを表す指標ではない。また点推定と信頼区間は母数の推定方法の名称であり、検定や分布の形を決める自由度の別名でもない。

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正解は「母平均に関する推定が標本ごとに比較的安定しやすい」である。標本平均の分布のばらつきが小さいほど、標本を取り直したときの標本平均の変動が小さく、母平均に関する推定は比較的安定しやすい。ばらつきが小さくなっても母平均の値そのものが必ず0になるわけではなく、標本分散が定義できなくなるわけでもなく、カイ二乗検定の自由度が必ず1になるわけでもない。 標本平均の分布のばらつきは標準誤差に対応し、小さいほど標本を取り直したときの推定値の揺れが抑えられる。 標本平均の分布のばらつきは標準誤差に対応し、小さいほど標本を取り直したときの推定値の揺れが抑えられる。

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正解は「48.04以上51.96以下」である。標準誤差は母標準偏差10を標本サイズ100の平方根10で割るため1となる。95%信頼区間の誤差幅は1.96×1=1.96であり、標本平均50から1.96を引いた48.04が下限、50に1.96を足した51.96が上限になる。49.80〜50.20は誤差幅を0.20としており、標準誤差と臨界値の計算が合わない。30.40〜69.60は母標準偏差10へ直接1.96を掛け、標本サイズの平方根で割っていない。40.20〜59.80は誤差幅9.8であり、1.96と標準誤差の扱いを誤っている。

https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section1/prc14.htm

正解は「t分布は母分散が未知の母平均に関する推定・検定で標本からばらつきを推定する場面に使い、F分布は分散どうしの比較や分散分析など分散の比に関する場面に使う」である。t分布は、母分散が未知のときに標本からばらつきを推定し、母平均について推定や検定を行う場面で用いる標本分布である。一方でF分布は、複数の分散を比較する場面や分散分析など、分散どうしの比に関する推定・検定の文脈で用いられる標本分布である。役割を入れ替えた説明は誤りであり、カテゴリカルデータの検定でのみ使われるという説明はカイ二乗分布の役割との混同であり、ベイズの定理やクロス集計表の集計方法と同一視する説明も誤りである。母平均の推定・検定を扱うか、分散どうしの比を扱うかという対象の違いに注目すると区別できる。

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この事例では「標本を取り直した際の標本平均のばらつきを知るか」を確認すると、標本を取り直したときに標本平均がどの程度ばらつくかを理解するために絞れる。正解は「標本を取り直したときに標本平均がどの程度ばらつくかを理解するため」である。標本平均の標本分布を考えると、標本を取り直したときに標本平均がどの程度ばらつくかを理解できる。これは標準誤差や推定の理解につながる。すべての標本平均を母平均と必ず一致させるためではなく、クロス集計表の期待度数をなくすためでもなく、相関係数から因果を直接証明するためでもなく、あくまで推定の精度を把握するための考え方である。標本分布が捉えるのは標本平均のばらつきであり、母平均との一致・期待度数・因果の証明という他章の概念と取り違えていないかを確かめる。

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この事例では「単一値の点推定と範囲の区間推定か」を確認すると、点推定は1つの値で推定し、区間推定は幅をもつ区間で推定するに絞れる。正解は「点推定は1つの値で推定し、区間推定は幅をもつ区間で推定する」である。点推定は母平均や母比率などの母数を1つの値で推定する方法であり、区間推定は信頼区間のように幅をもつ区間で母数を推定する方法である。点推定は仮説検定そのものではなく、区間推定も回帰分析そのものではない。どちらも標本から母数を推測する方法であり、母数を扱わない、標本を扱わないという説明は誤りで、クロス集計表の別名でもない。点推定と区間推定の違いは推定結果を1つの値で示すか幅のある区間で示すかであり、検定・回帰分析・クロス集計表という別の手法の名称にすり替えていないかで見分ける。

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この事例では「母集団全体の割合である母比率か」を確認すると、母集団全体における割合を、標本から幅をもつ区間として推定するに絞れる。正解は「母集団全体における割合を、標本から幅をもつ区間として推定する」である。母比率の区間推定では、母集団全体における割合を、信頼係数を踏まえて標本から幅をもつ区間として推定する。回帰直線の残差を0にすることは最小二乗法に関わる話であり、標本分散を母分散と必ず一致させることや2つの事象を必ず独立にすることは、いずれも区間推定とは別の前提や操作である。母比率の区間推定が対象とするのは母集団の割合であり、残差・標本分散と母分散の一致・事象の独立性という別の概念にすり替わっていないかで見分ける。

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この事例では「確実性を高めるため区間が広くなりやすいか」を確認すると、同じ標本情報なら、より広い信頼区間になりやすいに絞れる。正解は「同じ標本情報なら、より広い信頼区間になりやすい」である。同じ標本情報のもとで信頼係数を高くすると、母数を含むように区間をより広く取ることになるため、信頼区間は広くなりやすい。信頼区間が必ず1点になるという説明、母平均と母比率が必ず同じ値になるという説明、p値が必ず0になるという説明は、信頼係数と信頼区間の関係とは無関係であり、いずれも誤りである。 信頼係数を上げると対応する臨界値が大きくなり、同じ標準誤差でも誤差幅が広がる。区間が一点へ縮む方向ではなく、母平均と母比率を同一にする効果もなく、仮説検定のp値を0へ固定する操作でもない。

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この事例では「母平均・母比率などの母数か」を確認すると、母平均、母比率、母分散など、母集団の特徴を表す量に絞れる。正解は「母平均、母比率、母分散など、母集団の特徴を表す量」である。母数は、母集団の特徴を表す量であり、母平均、母比率、母分散などが含まれる。標本から推定したい対象そのものを指すため、推定や検定の前提になる。母数は標本から必ず除外する外れ値だけを指す言葉ではなく、回帰直線の図だけを指す言葉でもなく、余事象の一覧表だけを指す言葉でもなく、それぞれ別の概念として区別する必要がある。 母数は観測した標本そのものではなく、母集団全体を特徴づける固定だが通常未知の量である。母平均・母比率・母分散が代表例で、外れ値の一覧、回帰図、余事象表というデータ表示や事象の集合ではない。

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この事例では「標本分散に生じる推定の偏りを補正するか」を確認すると、母分散を推定するとき、標本から計算した分散の偏りを意識する必要があるために絞れる。正解は「母分散を推定するとき、標本から計算した分散の偏りを意識する必要があるため」である。標本から母分散を推定するとき、標本分散には偏りがあるため、不偏分散を用いて補正する考え方が重要になる。標本分散の値は母平均とは別の指標であり、必ず一致するとは限らない。不偏分散は回帰直線の別名ではなく分散の推定量であり、カテゴリ変数の期待度数はクロス集計表で使われる値であって、標本分散が表すばらつきとは無関係である。標本分散と不偏分散の違いは、母分散という同じ推定対象に対する2通りの計算方法の違いとして理解する。

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この事例では「標本平均の分布に関する中心極限定理か」を確認すると、標本平均の分布を正規分布で近似して考える根拠になるために絞れる。正解は「標本平均の分布を正規分布で近似して考える根拠になるため」である。中心極限定理は、一定の条件のもとで標本平均の分布が正規分布に近づくことを示す考え方であり、推定や検定で正規分布を用いた近似を考えやすくする根拠になる。すべての標本分散を必ず0にするという説明、相関があれば因果関係を必ず証明するという説明、クロス集計表の自由度を使わなくするという説明は、いずれも誤りである。 独立同分布などの条件下で標本サイズが大きくなると、元の母集団分布が正規でなくても標本平均の分布は正規分布へ近づく。この性質が平均の区間推定や検定の近似を支える。標本分散を0にせず、因果証明や自由度の不要化とも関係しない。 比較対象には「すべての標本分散を必ず0にするため」、「相関があれば因果を必ず証明するため」、「クロス集計表の自由度を使わなくするため」も含まれる。

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