統計検定2級の分散の比の検定（F検定）

結論

1. 帰無仮説は「2つの母分散が等しい」
2. 検定統計量は F = 標本分散1 ÷ 標本分散2
3. 自由度は、分子が（件数−1）、分母が（件数−1）の2つ
4. FがF分布表の臨界値より大きければ、帰無仮説を棄却する（片側検定）
5. Fが1から離れるほど、母分散が等しくない証拠が強い

検定の手順

NISTのハンドブックは、F検定の帰無仮説を「2つの母分散が等しい」、検定統計量を2つの標本分散の比と定義しています。標本分散は、偏差の2乗和を「件数−1」で割った不偏分散です。次の表は、計算例で使う3つの標本をまとめたものです。

標本Aの偏差は −5, −3, −1, 1, 3, 5 で、2乗和は 25+9+1+1+9+25=70、標本分散は 70÷5=14 です。標本Bの偏差は −2, −1, 0, 0, 1, 2 で、2乗和は10、標本分散は 10÷5=2 です。標本Cの偏差は −3, −2, 0, 1, 4 で、2乗和は30、標本分散は 30÷4=7.5 です。用語はF検定と分散の比の用語集にあります。

計算例1：棄却される場合

「標本Aの母分散は標本Bの母分散より大きいか」を、有意水準5%の片側検定で調べます。帰無仮説は「2つの母分散が等しい」、対立仮説は「Aの母分散のほうが大きい」です。

1. F = 14 ÷ 2 = 7
2. 自由度：分子 6−1=5、分母 6−1=5
3. F分布表（片側5%）の分子の自由度5・分母の自由度5の臨界値は5.050
4. 7 は 5.050 より大きいので、帰無仮説を棄却する

F=7が臨界値5.050を超えるので、5%水準で「Aの母分散のほうが大きい」といえます。臨界値は、NISTのハンドブックの片側検定用のF分布表（5%）から読みました。

計算例2：棄却されない場合

同じ標本Aと、5件の標本Cを比べます。標本分散は 14 と 7.5 で、標本Aのほうが大きく見えますが、件数が少ないと差が偶然の範囲に収まることがあります。

1. F = 14 ÷ 7.5 ≒ 1.87
2. 自由度：分子 6−1=5、分母 5−1=4
3. F分布表（片側5%）の分子の自由度5・分母の自由度4の臨界値は6.256
4. 1.87 は 6.256 より小さいので、帰無仮説を棄却できない

棄却できないことは、2つの母分散が等しいと証明されたことではありません。この件数のデータでは、分散に差があるとはいえなかった、という結論です。表を引くときは、分子の自由度を列、分母の自由度を行で探します。引き方は統計数値表の見方のページにもあります。

分子と分母を入れ替えるとどうなるか

標本Aと標本Bの順を入れ替えると、F は 2 ÷ 14 ≒ 0.14 になり、1より小さくなります。上側の片側検定は「Fが大きい」ときに棄却するので、この順では棄却されません。対立仮説で「大きい」と主張したい側を分子に置くと、棄却の判断を取り違えません。

もう1つ、自由度が臨界値に与える影響も確かめておきます。同じ分子の自由度5で、分母の自由度が4から5に増えると、5%の臨界値は6.256から5.050に下がります。件数が増えると標本分散の信頼度が上がり、同じ比でも棄却しやすくなります。計算例2で棄却できなかったのは、標本Cが5件と少なかったことも一因です。

片側と両側の違い

NISTのハンドブックは、F検定の対立仮説を3通り示しています。分散が小さい（下側）、大きい（上側）、等しくない（両側）です。上側の片側検定では F がα水準の上側臨界値を超えたとき、両側検定ではα/2の水準の臨界値と比べます。

F分布は左右対称ではないため、両側検定には下側と上側の棄却域を示す別の表が必要だと、NISTの表のページは述べています。このページの計算例は、上側の片側検定です。母分散が等しいかを調べる場面でF検定を使うことは、2標本t検定のページでも触れています。

問題文から読み取る

このページの計算例から導いた読み方です。出題を予想するものではありません。

• 「2つの母分散が等しいか調べる」とあれば、標本分散の比を使うF検定
• 「自由度（5, 4）のF分布」とあれば、分子の自由度が5、分母の自由度が4
• 「標本分散の比が臨界値より大きい」とあれば、帰無仮説を棄却する側
• 「棄却できなかった」を「分散が等しいと示された」と読み替えている選択肢は誤り

よくある質問

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