統計検定2級の検出力と第2種の過誤

結論

1. 検出力は、帰無仮説が偽のとき正しく棄却できる確率で、1−β と表す
2. βは、特定の対立仮説（たとえば真の平均が54）を決めて初めて計算できる
3. 標本サイズを増やすと標準誤差が小さくなり、検出力が上がる
4. 有意水準αを小さくすると、検出力は下がる（αとβは引き換えの関係）
5. 必要な標本サイズは、αとβと検出したい差と標準偏差から決まる

αとβと検出力の関係

NIST/SEMATECH e-Handbookは、有意水準αを、真の帰無仮説を棄却する危険として扱います。βは、母平均がμ+δのとき、偽の帰無仮説を受け入れる危険です。ここでδは、検出したい差（シフト）です。

第1種と第2種の過誤の違いは仮説検定のページ、用語は検出力の用語集にあります。

標本サイズ25と100で検出力を計算する

次の設定で考えます。数値は説明用に作った架空の例です。

• 帰無仮説は「母平均＝50」、対立仮説は「母平均≠50」（両側検定）
• 母標準偏差は10で既知、有意水準は5%（臨界値1.96）
• 真の平均は54（検出したい差は4）

標本サイズ25のとき、標準誤差は 10÷5＝2 です。真の平均が54なら、標本平均の中心は帰無仮説の50から標準誤差2つ分ずれています。検定統計量の分布が2だけ右にずれるので、検出力は P(Z＞1.96−2)＋P(Z＜−1.96−2) です。右の項は P(Z＞−0.04)≒0.516、左の項はほぼ0なので、検出力は約0.516、βは約0.484になります。

標本サイズ100のときは、標準誤差が1になり、ずれは標準誤差の4倍です。検出力は P(Z＞1.96−4)＝P(Z＞−2.04)≒0.979、βは約0.021です。

標本サイズを4倍にすると標準誤差が半分になり、検出力は約0.52から約0.98に上がります。標本サイズ25では、真の平均が54でも、見逃す確率が約半分あることになります。

検出力を左右する3つの条件

• 標本サイズ：増やすと標準誤差が小さくなり、検出力が上がる（上の表）
• 検出したい差：大きいほど見つけやすい。真の平均が54でなく52なら、同じ標本サイズでも検出力は下がる
• 有意水準α：5%から1%にすると臨界値が1.96から2.576に上がり、標本サイズ25の検出力は約0.516から約0.282に下がる

第1種の過誤を減らすと、同じデータでは第2種の過誤が増えます。αを小さくしたうえで検出力も保ちたいときは、標本サイズを増やします。有意水準そのものの意味はp値と有意水準のページで整理しています。

必要な標本サイズの求め方

NISTは、母標準偏差が既知のときの最小の標本サイズを、両側検定で N＝(z(1−α/2)＋z(1−β))²×(σ÷δ)²、片側検定で N＝(z(1−α)＋z(1−β))²×(σ÷δ)² と示しています。

上の設定で、検出力0.80を目指します。z(0.975)＝1.96、z(0.80)≒0.8416、σ÷δ＝10÷4＝2.5 なので、N＝(1.96＋0.8416)²×2.5²≒7.849×6.25≒49.06 です。標本サイズは整数なので切り上げて50になります。標本サイズ49では検出力が約0.7995で、0.80に届きません。

NISTは、この式に母標準偏差が既知であることが前提になると述べています。標準偏差が分からないときは、過去の実験などの最良の推定値で代用します。

問題文から読み取る

このページの計算例から導いた読み方です。出題を予想するものではありません。

• 「帰無仮説が偽なのに棄却しない確率」とあれば、第2種の過誤の確率β
• 「帰無仮説が偽のとき棄却できる確率」とあれば、検出力（1−β）
• 「標本サイズを増やすと検出力が下がる」という選択肢は誤り（上がる）
• 「αを小さくすると、βも小さくなる」という選択肢は誤り（同じデータではβは大きくなる）
• 「βは帰無仮説だけで決まる」という選択肢は誤り（特定の対立仮説を決めて計算する）

よくある質問

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