用語比較
決定係数と自由度調整済み決定係数の違い｜説明変数を増やすと上がる値・下がる値（統計検定2級）
決定係数R²は、回帰モデルが目的変数のばらつきをどれだけ説明しているかを表す値です。自由度調整済み決定係数は、R²から説明変数の数のぶんを割り引いた値で、モデルどうしの比較に向きます。
切片を含む回帰では、説明変数を足すとR²は下がらず、役に立たない変数でも通常は少し上がります。調整済みの値は、足した変数が役に立たなければ下がります。
このページは、R²が上がったので重回帰モデルが良くなったと読んでしまう人を対象にしています。説明変数を1つ足した例で、二つの値の動きの違いを確認します。
この記事の根拠と出典
各セクションの見出しの下に、公式資料で確認した内容か編集部の整理かをラベルで示しています。 試験日・料金・申込条件・試験方式は変わることがあるため、申込前に公式サイトで確認してください。統計検定2級の一次情報確認日: 2026-10-09。
結論
決定係数R²
回帰平方和SSR÷全平方和SST、または1-誤差平方和SSE÷全平方和SST。切片を含む回帰では0以上1以下で、説明変数を足しても下がらない。
自由度調整済み決定係数
R²から説明変数の数のぶんを割り引いた値。式は1-(1-R²)(n-1)/(n-p)で、nは標本サイズ、pは切片を含む回帰係数の個数。変数を足しても役に立たなければ下がり、負になることもある。
違いを表で確認
| 比較軸 | 決定係数R² | 自由度調整済み決定係数 |
|---|---|---|
| 式 | 1-SSE/SST | 1-(1-R²)(n-1)/(n-p) |
| 説明変数を足したとき | 下がらない | 上がることも下がることもある |
| 値の範囲 | 切片を含む回帰で0以上1以下 | 1未満で、負になることもある |
| 同じn・同じR²での大小 | 基準になる値 | R²以下で、pが大きいほど小さい |
| 向く場面 | 1つのモデルの説明力を読む | 説明変数の数が違うモデルを比べる |
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変数を足してR²が上がったので採用してよいと考える人
R²は変数を足すと通常は上がるので、上がっただけでは採用の根拠になりません。調整済みの値も上がったかを見ます。
調整済みの式のnとpの数え方が曖昧な人
nは標本サイズ、pは切片を含む回帰係数の個数です。説明変数が2つの重回帰なら、p=3です。説明変数の数だけを入れる式もあるので、問題文の定義に合わせます。
単回帰でも調整済みを使うのか迷う人
式はどの回帰にも使えますが、比べる相手が無い単回帰では、R²で説明力を読めば足ります。使い分けが問われるのは、説明変数の数が違う重回帰どうしを比べる場面です。
具体例で使い分ける
例 1
説明変数を1つ足すと、R²と調整済みはどう動くか
標本サイズn=20のデータで、説明変数2つのモデルAは、切片を含めてp=3、R²=0.80です。ここに説明変数を1つ足したモデルBは、p=4、R²=0.81でした。
- モデルAの調整済みは、1-(1-0.80)×19/17=1-0.2×19/17です。3.8÷17は約0.2235なので、約0.776です。
- モデルBの調整済みは、1-(1-0.81)×19/16=1-0.19×19/16です。3.61÷16は約0.2256なので、約0.774です。
結論: R²は0.80から0.81へ上がりましたが、調整済みは約0.776から約0.774へ下がりました。足した変数は、増やした係数のぶんに見合う説明力を足していないと読みます。
例 2
単回帰で調整済みを計算し、R²との大小を確かめる
標本サイズn=10の単回帰で、切片を含めてp=2、R²=0.64です。
- 調整済みは、1-(1-0.64)×9/8=1-0.36×9/8です。0.36×9÷8は0.405なので、0.595です。
- 0.595は、R²の0.64より小さくなっています。
結論: 同じn・同じR²なら、調整済みはR²以下になります。pが大きいほど、割り引きも大きくなります。
問題文から答えを選ぶ手順
- 1
比べるモデルの説明変数の数を確認する
数が同じなら、R²の大小でそのまま比べられます。数が違うなら、R²だけでは比べません。
- 2
R²と調整済みの両方を並べる
nと、切片を含む回帰係数の個数pを数えて、1-(1-R²)(n-1)/(n-p)で調整済みを求めます。
- 3
動きの向きをそろえて読む
どちらも上がれば、足した変数は役に立っていると読みます。R²だけ上がり、調整済みが下がるなら、割に合わない変数です。
- 4
結論を式の数字で書く
調整済みの大小と、nとpの値を示して、どちらのモデルを選ぶかを書きます。
試験での見分け方
- 1切片を含む回帰では、説明変数を足してもR²は下がらない。
- 2調整済み＝1-(1-R²)(n-1)/(n-p)。pは切片を含む回帰係数の個数。
- 3説明変数の数が違うモデルを比べるときは、調整済みで読む。
- 4調整済みは、役に立たない変数を足すと下がり、負になることもある。
誤答しやすい選択肢
R²が上がったことだけで、モデルが良くなったと結論する
修正: 切片を含む回帰では、変数を足すとR²は下がりません。調整済みの動きも確認します。
pに説明変数の数だけを入れて、切片を数え忘れる
修正: この式のpは、切片を含む回帰係数の個数です。説明変数が2つならp=3になります。
調整済みがR²より大きくなる計算をしてしまう
修正: n-1をn-pで割ると1以上になり、(1-R²)に掛けると、同じn・同じ1未満のR²では調整済みはR²以下になります。大きくなったら、nとpの入れ違いを疑います。
決定係数が高ければ、予測も当たると考える
修正: 決定係数は、手元のデータでの説明の割合です。新しいデータでの当たりやすさや、因果関係を示す値ではありません。
確認問題
Q1切片を含む重回帰で、説明変数を1つ足したとき、決定係数R²はどうなる？
答え: 下がらない
最小二乗法では、変数を足すと残差平方和が増えず、R²は同じか上がります。
Q2n=20、p=3、R²=0.80のとき、調整済みの値は？
答え: 約0.776
1-0.2×19/17で、約0.776です。
Q3n=10、p=2、R²=0.64のとき、調整済みの値は？
答え: 0.595
1-0.36×9/8=1-0.405=0.595です。
Q4説明変数を足したらR²は上がり、調整済みは下がった。どう読む？
答え: 足した変数は、割に合わない
増えた係数のぶんの割り引きが、R²の上がり幅を上回ったということです。
到達チェック
- 決定係数の定義を、SSRとSSTまたはSSEとSSTで書ける
- 調整済みの式を、nとpの意味つきで書ける
- 説明変数を足したときの、R²と調整済みの動きを説明できる
- n=20、p=3、R²=0.80のような数字で調整済みを計算できる
- R²が高いことと、因果や予測の当たりやすさが別であることを説明できる
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よくある質問
Q決定係数と自由度調整済み決定係数は、何が違う？
調整済みは、R²から説明変数の数のぶんを割り引いた値です。切片を含む回帰では、R²は変数を足しても下がりませんが、調整済みは役に立たない変数を足すと下がります。
Q調整済みの式は？
標本サイズをn、切片を含む回帰係数の個数をpとして、1-(1-R²)(n-1)/(n-p)です。
Q説明変数の数が違うモデルを比べるときは、どちらを見る？
調整済みです。本ページの例では、変数を足してR²は0.80から0.81へ上がりましたが、調整済みは約0.776から約0.774へ下がりました。
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執筆: ミナト編集部（運営者情報を見る）