用語比較
共分散と相関係数の違い｜単位の有無と-1から1の範囲（統計検定2級）
共分散は、2つの変数が一緒に大きくなるか、逆に動くかを表す値です。相関係数は、共分散を二つの標準偏差の積で割って、単位をなくし、-1以上1以下に収めた値です。
共分散は単位や目盛りの取り方で値が変わるので、大きさだけでは関連の強さを比べられません。相関係数なら、単位の違う変数の組どうしでも強さを比べられます。
このページは、共分散の値が大きいことを強い関係と読んでしまう人を対象にしています。同じデータでyの単位だけを変えた例で、二つの値の動き方の違いを確認します。
この記事の根拠と出典
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結論
共分散
2変数の偏差の積の平均（標本ではn-1で割る形もある）。符号で同じ向きか逆向きかが分かるが、単位を持ち、値は目盛りに左右される。
相関係数
共分散を2変数の標準偏差の積で割った値。単位を持たず、-1以上1以下になるので、関連の強さを比べられる。
違いを表で確認
| 比較軸 | 共分散 | 相関係数 |
|---|---|---|
| 定義 | 偏差の積の平均 | 共分散÷（xの標準偏差×yの標準偏差） |
| 単位 | xの単位×yの単位 | 単位なし |
| 値の範囲 | 決まっていない | -1以上1以下 |
| 目盛りを変えたとき | 値が変わる | 値は変わらない |
| 強さの比較 | 変数の組が違うと比べにくい | 組が違っても比べられる |
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共分散の値が大きいので強い関係だと思う人
共分散は、yの単位をmからcmに変えるだけで100倍になります。大きさだけでは強さは言えません。強さは、標準化した相関係数で見ます。
相関係数の式の分母が何かを忘れる人
分母は、xの標準偏差とyの標準偏差の積です。共分散をこれで割るので、単位が消えて-1から1に収まります。
共分散の符号の読み方を確認したい人
符号が正なら、xが大きいときyも大きい傾向、負なら逆の傾向です。ゼロに近ければ、直線的な関連は弱いと読みます。
具体例で使い分ける
例 1
x=1,2,3,4,5、y=2,3,5,6,9の共分散と相関係数を求める
5組のデータで、共分散と相関係数を計算します。xの平均は3、yの平均は5です。
- xの偏差は-2,-1,0,1,2、yの偏差は-3,-2,0,1,4です。偏差の積の和は6+2+0+1+8=17です。
- nで割ると、共分散は17/5=3.4です。n-1で割る場合は17/4=4.25です。
- xの偏差平方和は10、yの偏差平方和は30です。相関係数は17/√(10×30)で、約0.98です。
結論: 共分散は割る数で変わりますが、相関係数は約0.98で一定です。強い正の関連があります。
例 2
yを10倍にすると、どちらが変わるか
上のデータで、yを10倍にした値（20,30,50,60,90）で計算し直します。
- 偏差の積の和は170になり、nで割った共分散は34です。元の値の10倍です。
- yの偏差平方和は3,000になります。相関係数は170/√(10×3,000)=170/√30,000で、約0.98です。
結論: 共分散は10倍になりますが、相関係数は変わりません。目盛りの影響を受けないのは相関係数です。
問題文から答えを選ぶ手順
- 1
何を知りたいかを確認する
同じ向きに動くかの向きを見たいのか、関連の強さを見たいのか、強さを他の組と比べたいのかを確認します。
- 2
向きだけなら共分散の符号を見る
正なら同じ向き、負なら逆向きです。
- 3
強さを見るなら相関係数に直す
共分散を、二つの標準偏差の積で割ります。
- 4
-1から1の範囲で読む
絶対値が1に近いほど直線的な関連が強く、0に近いほど弱いと読みます。範囲を外れたら計算を見直します。
試験での見分け方
- 1共分散は単位を持ち、単位や尺度を変えると値が変わる。
- 2相関係数＝共分散÷（xの標準偏差×yの標準偏差）。
- 3相関係数は単位を持たず、-1以上1以下になる。
- 4強さを比べるときは、共分散ではなく相関係数を使う。
誤答しやすい選択肢
共分散が大きいことを、強い関連と読む
修正: 共分散は目盛りに左右されます。強さは相関係数で確認します。
相関係数が1.2のように範囲を外れた値になる
修正: -1以上1以下に収まるはずです。標準偏差の掛け忘れや、偏差平方和との取り違えを疑います。
共分散と相関係数で、割る数をそろえ忘れる
修正: 共分散をn-1で割るなら、標準偏差もn-1で割ったものを使います。そろえれば、約分されて相関係数は同じ値になります。
相関が強いことを、因果関係があることと読む
修正: 相関係数は直線的な関連の強さで、原因と結果は示しません。
確認問題
Q1共分散を二つの標準偏差の積で割った値を何という？
答え: 相関係数
標準化により、単位がなくなり-1以上1以下になります。
Q2偏差の積の和が17、データ数が5のとき、nで割る共分散は？
答え: 3.4
17/5=3.4です。n-1で割るなら17/4=4.25です。
Q3yの単位をmからcmに変えて100倍にしたとき、相関係数はどうなる？
答え: 変わらない
共分散は100倍、yの標準偏差も100倍になり、約分されます。
Q4相関係数の取りうる範囲は？
答え: -1以上1以下
共分散を標準偏差の積で割るため、この範囲に収まります。
到達チェック
- 共分散の定義と符号の読み方を言える
- 相関係数が共分散から作られることを式で書ける
- 単位や目盛りを変えたとき、どちらが変わるかを説明できる
- 5組程度のデータで相関係数を計算できる
- 相関と因果が別であることを説明できる
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よくある質問
Q共分散と相関係数は、何が違う？
相関係数は共分散を二つの標準偏差の積で割った値で、単位を持たず-1以上1以下になります。
Q単位を変えると、どちらが変わる？
共分散が変わります。本ページの例では、yを10倍にすると共分散は3.4から34になり、相関係数は約0.98のままです。
Q関連の強さを比べるのはどちら？
相関係数です。単位がなく範囲が決まっているので、変数の組が違っても比べられます。
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執筆: ミナト編集部（運営者情報を見る）