用語比較
誤差（誤差項）と残差の違い｜回帰分析で観測できるのはどちらか（統計検定2級）
誤差は真のモデルからのずれで観測できず、残差は当てはめた回帰直線からのずれで、データから計算できます。誤差の値は分からないので、残差を使って誤差の大きさ（分散）を推定します。
統計検定2級では、回帰直線を求めたあとに計算できるのは残差という区別と、残差の合計が0になる性質が問われます。誤差項の仮定（平均0・分散が一定）と残差の性質を混ぜないことが要点です。
このページは、回帰分析の本で「誤差」と「残差」の2つの言葉が出てきて、同じものか違うものか迷う人を対象にしています。5点のデータで回帰直線を求め、残差を実際に計算して確かめます。
この記事の根拠と出典
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結論
誤差（誤差項）
モデルy=β0+β1x+εのε。真の回帰直線からのずれで、母集団側の量。真の係数が分からないので値は観測できない。
残差
観測値yから当てはめた値（予測値）ŷを引いた値e=y−ŷ。標本の回帰直線からのずれで、データから計算できる。
2つの関係
残差は誤差を推定する材料。誤差分散σ²は、残差平方和を自由度n−2で割った値で推定する（単回帰の場合）。
違いを表で確認
| 比較軸 | 誤差（誤差項） | 残差 |
|---|---|---|
| 何からのずれか | 真の回帰直線（母集団のモデル）からのずれ | 当てはめた回帰直線（標本から推定した直線）からのずれ |
| 記号 | ε（イプシロン） | e（またはε̂） |
| 観測できるか | できない。真の係数が未知のため値が分からない | できる。観測値と予測値の差として計算できる |
| 合計 | 合計が0になるとは限らない | 切片を含むモデルでは合計が必ず0になる |
| 役割 | モデルの仮定（平均0・分散が一定など）を置く対象 | 仮定の妥当性を確かめる・誤差分散を推定する材料 |
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「誤差」と「残差」を同じ言葉の言い換えと思っている人
誤差は真のモデルからのずれ、残差は推定した直線からのずれです。前者は観測できず、後者は計算できます。
残差の合計が0なので、誤差の合計も0だと考えてしまう人
残差の合計が0になるのは、最小二乗法で切片を含めて当てはめた結果です。誤差には合計が0になる保証はありません。
誤差分散を、残差平方和をnで割って求めてしまう人
単回帰では、推定する係数が2つあるので、残差平方和を自由度n−2で割ります。nで割ると誤差分散を小さく見積もります。
具体例で使い分ける
例 1
5点のデータで残差を計算する
xが1・2・3・4・5のとき、yが2・4・5・4・5だったとします（架空のデータ）。xの平均は3、yの平均は4です。
- 傾きは、Σ(x−3)(y−4)=4+0+0+0+2=6を、Σ(x−3)²=10で割って0.6です。切片は4−0.6×3=2.2なので、回帰直線はŷ=2.2+0.6xです。
- 予測値は2.8・3.4・4.0・4.6・5.2です。残差e=y−ŷは−0.8・0.6・1.0・−0.6・−0.2になります。
- 残差の合計は−0.8+0.6+1.0−0.6−0.2=0で、確かに0です。残差平方和は0.64+0.36+1.00+0.36+0.04=2.4です。
- 誤差分散σ²の推定値は、2.4/(5−2)=0.8です。残差標準偏差は√0.8≒0.894になります。
結論: 計算できたのはすべて残差です。誤差εそのものの値は、真の直線が分からないため求まりません。
例 2
誤差の合計は0になるとは限らない
真のモデルがy=2+0.5x+εだと分かっている状況を考えます（シミュレーションの設定。架空の例）。x=1・2・3のとき誤差が0.3・−0.1・0.2だったとします。
- 誤差の合計は0.3−0.1+0.2=0.4で、0にはなりません。誤差は、平均が0という仮定のもとで確率的にばらつく量です。
- 同じデータに最小二乗法で直線を当てはめると、残差の合計は0になります。誤差と残差は別の量です。
結論: 「合計が0」は残差の性質で、誤差の性質ではありません。誤差に置くのは、平均0・分散が一定という仮定です。
問題文から答えを選ぶ手順
- 1
計算できる量か、仮定の対象かを見る
データから具体的な数が出るなら残差、モデルの式に出てくるεや分散σ²なら誤差（誤差項）の話です。
- 2
残差は観測値から予測値を引く
e=y−ŷです。予測値は回帰直線にxを代入して求めます。
- 3
合計の性質を使う
切片を含む回帰では、残差の合計は0です。計算結果の確かめに使えます。
- 4
誤差分散は自由度で割る
単回帰では、残差平方和を自由度n−2で割って誤差分散σ²を推定します。
試験での見分け方
- 1誤差は真のモデルからのずれ、残差は推定した直線からのずれ。
- 2誤差は観測できない。残差は観測値−予測値として計算できる。
- 3切片を含む最小二乗法では、残差の合計は0になる。誤差の合計が0になる保証はない。
- 4単回帰の誤差分散σ²の推定には、残差平方和を自由度n−2で割る。
- 5標準的な回帰モデルでは、誤差に平均0・分散が一定・互いに独立という仮定を置く。
誤答しやすい選択肢
残差を「誤差」と呼び、観測できない量だと考える
修正: 残差は観測値と予測値の差で、データから計算できます。観測できないのは誤差の方です。
誤差の合計が0になると答える
修正: 合計が0になるのは残差です。誤差は平均が0という仮定で、標本の合計は0とは限りません。
残差平方和をnで割って誤差分散とする
修正: 単回帰では係数を2つ推定しているので、自由度n−2で割ります。本ページの例では2.4/3=0.8です。
予測値から観測値を引いて残差を求める
修正: 残差はe=y−ŷで、観測値から予測値を引きます。逆にすると符号が反対になります。
確認問題
Q1観測値y=5、予測値ŷ=4.6のとき、残差eはいくつ？
答え: 0.4
e=y−ŷ=5−4.6=0.4です。観測値から予測値を引きます。
Q2切片を含む最小二乗法の回帰で、残差の合計はいくつ？
答え: 0
切片を含めて最小二乗法で当てはめると、残差の合計は常に0になります。本ページの例でも0です。
Q3本ページの例で、残差平方和が2.4、n=5のとき、誤差分散の推定値はいくつ？
答え: 0.8
単回帰なので自由度はn−2=3です。2.4/3=0.8になります。
Q4回帰直線を当てはめたあとで、データから値を計算できるのは誤差と残差のどちら？
答え: 残差
誤差は真のモデルからのずれで、真の係数が未知なので値は求まりません。残差は観測値と予測値の差として計算できます。
到達チェック
- 誤差を、真のモデルからのずれとして説明できる
- 残差を、観測値から予測値を引いた値として計算できる
- 誤差が観測できず、残差が計算できる理由を説明できる
- 切片を含む回帰で残差の合計が0になることを使える
- 単回帰の誤差分散を、残差平方和÷(n−2)で推定できる
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よくある質問
Q誤差と残差は、どちらも「ずれ」だが何が違う？
誤差は真の回帰直線からのずれで観測できず、残差は当てはめた回帰直線からのずれでデータから計算できます。
Qなぜ残差の合計は0になる？
切片を含めて最小二乗法で当てはめると、残差平方和を最小にする条件から、残差の合計が0になるためです。本ページの例では−0.8+0.6+1.0−0.6−0.2=0です。
Q誤差分散は、なぜn−2で割る？
単回帰では傾きと切片の2つをデータから推定しており、残差は2つの制約を受けるからです。自由度はn−2になります。
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執筆: ミナト編集部（運営者情報を見る）