第5章 仮説検定
統計検定2級の2標本t検定（対応のあるデータとないデータの計算手順）
統計検定2級の公式出題範囲には、2つの母集団の母数に関する仮説検定として、母平均の差の検定が並んでいます。最初に決めるのは、データが「対応あり」か「対応なし」かです。これで統計量の式と自由度が変わります。
このページは、4人ずつの2群を比べる対応のない計算と、4組のペアを比べる対応のある計算を、数字を追いながら解きます。
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結論
- 対応のないデータは、標本平均の差を標準誤差で割る。等分散を仮定すると自由度は N1 + N2 − 2
- 等分散を仮定するときの標準誤差は、プールした標準偏差 sp × √(1/N1 + 1/N2)
- 対応のあるデータは、各組の差を作り、差の平均 ÷ (差の標準偏差 ÷ √組数)。自由度は 組数 − 1
- 対応のあるデータを対応のない式で解くと、結論が変わることがある
- 統計量の絶対値が両側検定の臨界値を超えたら、帰無仮説を棄却する
対応の有無で式を選ぶ
| 種類 | 当てはまる場面 | 統計量 | 自由度 |
|---|---|---|---|
| 対応のない2標本 | 2つの群が別々の対象（Aさんたちの群とBさんたちの群） | 標本平均の差 ÷ 標準誤差 | 等分散を仮定するとき N1 + N2 − 2 |
| 対応のある標本 | 同じ対象を2回測る、またはペアにした2つの値 | 各組の差の平均 ÷ (差の標準偏差 ÷ √組数) | 組数 − 1 |
NIST公式ハンドブックでは、対応のない2標本t検定の統計量は、標本平均の差を、各標本の分散を各標本サイズで割った値の和の平方根で割った形です。等分散を仮定すると、プールした標準偏差sp（sp²は各標本の(N−1)×分散の和をN1+N2−2で割った値）を使って、sp×√(1/N1+1/N2)で割る式に簡略化されます。
一次資料: 統計検定センター「統計検定2級 出題範囲」、NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods
対応のないデータの計算例
計算例です（このページの架空のデータです）。別々の4人ずつの2群A・Bに同じテストを受けてもらい、母分散は等しいと仮定します。帰無仮説は「2群の母平均は等しい」、有意水準は5％の両側検定です。
- A群: 62, 70, 66, 74。平均68、偏差の2乗和は 36+4+4+36 = 80
- B群: 56, 62, 58, 64。平均60、偏差の2乗和は 16+4+4+16 = 40
- プールした分散: sp² = (80 + 40) ÷ (4 + 4 − 2) = 120 ÷ 6 = 20
- 標準誤差: √(20 × (1/4 + 1/4)) = √10 ≒ 3.162
- 統計量: t = (68 − 60) ÷ 3.162 ≒ 2.53
自由度は 4+4−2 = 6です。NISTのt分布の臨界値表では、自由度6で「臨界値より小さい確率」0.975（両側5％）の値は2.447です。2.53は2.447を超えるので、有意水準5％で「2群の母平均は等しい」という帰無仮説を棄却します。用語は2標本t検定と対応のないデータの用語集で確認できます。
対応のあるデータの計算例
NISTの対応のあるt検定は、各組の差を作り、差の標本平均を、差の標本標準偏差を組数の平方根で割った標準誤差で割ります。
計算例です（このページの架空のデータです）。同じ4人が講座の前後に受けたテストの点が、前 50, 60, 55, 65、後 56, 66, 59, 71 だったとします。帰無仮説は「差の母平均は0」です。
- 各組の差（後 − 前）: 6, 6, 4, 6。平均 5.5
- 差の偏差の2乗和: 0.25+0.25+2.25+0.25 = 3。不偏分散は 3 ÷ 3 = 1、標準偏差は1
- 標準誤差: 1 ÷ √4 = 0.5
- 統計量: t = 5.5 ÷ 0.5 = 11
自由度は 4−1 = 3です。NISTの表では、自由度3で0.975の値は3.182です。11は3.182を大きく超えるので、帰無仮説を棄却します。用語は対応のあるデータの用語集で確認できます。
同じデータで結論が変わる理由
同じ前後のデータを、対応のない2群として解いてみます。前は平均57.5・偏差の2乗和125、後は平均63・偏差の2乗和138です。
- プールした分散: (125 + 138) ÷ 6 ≒ 43.83
- 標準誤差: √(43.83 × (1/4 + 1/4)) ≒ 4.68
- 統計量: t = 5.5 ÷ 4.68 ≒ 1.17。自由度6の臨界値2.447より小さい
同じ平均の差5.5でも、対応のある解き方ではt=11で棄却、対応のない解き方ではt=1.17で棄却されません。対応のある解き方は、4人それぞれの前後の差だけを見るので、人によって点数の水準が違うことによるばらつきが消えます。そのぶん標準誤差が小さくなり、差を検出しやすくなります。同じ人の前後なのに対応のない式を使うと、この差が見えなくなります。
問題文から読み取る
問題文の言い回しから、どちらの式を使うかを読み取れます。このページの計算例から導いた読み方で、出題を予想するものではありません。
- 「同じ人の前後」「ペアにした」とあれば、対応のあるデータ。各組の差を作る
- 「2つの別々の群」とあれば、対応のないデータ。標本平均の差を標準誤差で割る
- 「母分散が等しいと仮定」とあれば、プールした分散を使い、自由度は N1 + N2 − 2
- 「各群4人」なら、等分散を仮定したときの自由度は6、対応のある4組なら自由度は3
- 「母分散が等しいかを調べる」とあれば、2つの標本分散の比を使うF検定
- 「統計量が臨界値より小さいので、2群の平均は等しいと証明された」という文は、棄却されなかっただけで成り立たない
統計検定2級の学習に使う書籍（Amazon）
試験範囲を通して読むときの1冊です。読んだ章は、このサイトの章別問題で確かめられます。
よくある質問
2標本t検定は、統計検定2級の公式出題範囲にありますか？
あります。統計検定センターの2級の出題範囲表は、仮説検定の項目に、2つの母集団の母数に関する検定として、母平均の差の検定と母分散の比の検定を挙げています。母平均の差の検定は、分散既知、分散未知であるが等分散、分散未知で等しいとは限らない場合に分けて載っています。出題範囲表に「対応のある・ない」という語は書かれていないため、対応の有無による式の使い分けは、NIST公式ハンドブックの記載に基づいて説明しています。
対応のあるデータと対応のないデータは、どう見分けますか？
同じ対象の前後の値や、ペアにした2つの値のように、1つずつ組になっていれば対応のあるデータです。各組の差を作って、1標本のt検定として扱います。2つの群が別々の対象なら対応のないデータです。
対応のないデータの自由度は、いつもN1+N2−2ですか？
等分散を仮定するときの自由度です。等分散を仮定しない場合は、NISTがWelch-Satterthwaiteの式として示す式で自由度を求めます。出題範囲表に「ウェルチ」という名前は書かれていませんが、分散未知で等しいとは限らない場合が挙がっています。
2つの母分散が等しいかは、どう調べますか？
F検定を使います。2標本の標本分散の比をF統計量として、F分布の臨界値と比べます。