チェビシェフの不等式とは

第4章 標本分布と推定 / 標本分布

分布の形は不明だが、確率変数Xの平均は50、標準偏差は4である。チェビシェフの不等式を使うと、Xが平均50から8未満の範囲に入る確率について何がいえるか。

正解は「少なくとも75%である」である。平均からの幅8は標準偏差4の2倍なのでk=2である。チェビシェフの不等式による範囲内確率の下限は1-1/k²＝1-1/2²＝1-1/4＝0.75となる。範囲外確率の上限を分散16÷幅の二乗8²＝0.25と求め、1-0.25＝0.75としても検算できる。高々50%という上限は、少なくとも75%という保証と矛盾する。約95.44%は正規分布で平均±2標準偏差に入る割合であり、分布形が不明な本問へは適用できない。75%は分布を問わず保証される保守的な下限で、実際の確率が75%より高い場合もあるため、ちょうど75%とは断定しない。