G検定の確率分布4種の使い分け（二項・ポアソン・正規）

結論

1. ベルヌーイ分布は、値1を確率p、値0を確率1−pでとる、1回の試行の分布
2. 二項分布は、独立なn回の試行で成功した回数の分布。平均はnp、分散はnp(1−p)
3. ポアソン分布は、決まった時間や範囲に事象が何回起きるかの分布。平均と分散が等しい
4. nが大きくpが小さい二項分布は、平均npのポアソン分布に近くなる
5. 正規分布は連続値の分布で、平均から標準偏差1つ以内に約68%、2つ以内に約95%、3つ以内に約99.7%

ベルヌーイ分布：1回の試行

Wikipediaは、ベルヌーイ分布を、値1を確率p、値0を確率q = 1 − pでとる確率変数の離散分布と説明しています。たとえば、広告を1回見た人がクリックする確率が0.3なら、クリックを1、しない場合を0として、P(1) = 0.3、P(0) = 0.7です。平均はp = 0.3、分散はp(1 − p) = 0.21です。

結果が「成功か失敗か」の2通りしかない1回の試行が、ベルヌーイ分布です。ロジスティック回帰が出す確率は、入力ごとの1回の試行の成功確率に当たります。

二項分布：n回のうちの成功回数

二項分布は、同じ条件の独立な試行をn回行ったときの成功回数の分布です。広告を10人に見せたとき、クリックした人数Kが従う分布がBinomial(10, 0.3)です。K = k となる確率は、10人から k 人を選ぶ組み合わせの数 × 0.3^k × 0.7^10−k で求めます。

最も起きやすいのは3人（0.267）で、平均 np = 10 × 0.3 = 3 と一致します。分散は np(1 − p) = 2.1、標準偏差は約1.45です。3人以下になる確率は、表の丸めた値を足すと0.649で、丸める前の値で足すと約0.650です。n = 1 の二項分布が、ベルヌーイ分布です。

ポアソン分布：決まった範囲での発生回数

Wikipediaは、ポアソン分布を、平均の発生率が一定で、前の事象からの時間と無関係に起きる事象が、決まった時間の区間に何回起きるかの確率を表す離散分布と説明しています。試行の回数ではなく、時間や面積などの範囲での発生回数を数えます。

例として、100人が問い合わせ窓口を使い、各人が1日に問い合わせる確率が0.03とします。この件数は Binomial(100, 0.03) で、平均は100 × 0.03 = 3件です。これを、平均3のポアソン分布と比べます。ポアソン分布の確率は、e⁻³ × 3^k ÷ k! で求めます。

どの件数でも、差は0.004以内です。nが大きくpが小さいとき、二項分布は、平均 np のポアソン分布で近似できます。分散を見ると、二項分布は 100 × 0.03 × 0.97 = 2.91、ポアソン分布は平均と同じ3で、近い値になっています。

正規分布：連続値のつりがね型

Wikipediaは、正規分布を、実数値をとる確率変数の連続確率分布と説明しています。平均を中心に左右対称で、値の約68%が平均から標準偏差1つ以内、約95%が2つ以内、約99.7%が3つ以内に入ります。

試験の点数が、平均60点・標準偏差10点の正規分布に従うとします。50〜70点に約68%、40〜80点に約95%、30〜90点に約99.7%の人が入ります。正確な値は、1つ分が68.27%、2つ分が95.45%、3つ分が99.73%です。ベルヌーイ・二項・ポアソンは数えられる値の離散分布で、正規分布は連続した値の分布です。連続分布では、特定の1点の確率は0になり、範囲の確率を考えます。

問題文からの選び方

迷ったら、何を数えているかを確かめます。1回の結果なのか、n回の中の回数なのか、決まった範囲での回数なのか、連続した値なのかで決まります。分布のパラメータをデータから推定する方法は、最尤法のページで扱っています。

よくある質問

次に読むと効率的なページ