DS検定 第3章 数学的基礎 予想問題（2/2）

正解は「転置」である。転置は、一つの行列について行と列を入れ替える操作であり、行列Aの転置は一般にAの右肩へTを付けて表す。設問は元の1行目を1列目へ、2行目を2列目へ移しているため転置に当たる。逆行列は元の行列と掛けると単位行列になる行列、行列の積は左の行と右の列の対応要素を掛けて合計し新しい行列を作る演算、ベクトルの内積は二つのベクトルの対応要素を掛けて合計し一つの値を得る演算である。要素の値を計算し直すのではなく、行番号と列番号を交換する点で区別する。

https://github.com/The-Japan-DataScientist-Society/skills-checklist （2026-07-12公式スキルチェックリストver.6照合）

正解は「勾配」である。勾配は、多変数関数を各変数について偏微分し、その値を成分として並べたベクトルであり、関数値が最も急に増加する方向を示す。設問は複数変数の損失関数について偏微分を並べたベクトルを問うため勾配である。導関数は主に一変数で入力ごとの変化率を表す関数、停留点は微分または勾配が0になる点、偏微分は多変数関数で着目する一つ以外を定数とみなして微分する個々の操作である。機械学習の勾配降下法では、損失を小さくするため勾配と反対向きへパラメータを更新する点も押さえる。個別の微分操作か、それらを並べたベクトルか、特定の点かで区別する。

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正解は「和集合」である。和集合は、二つの集合の少なくとも一方に含まれる要素を、共通する要素の重複を一つにまとめて集めた集合である。設問では商品Aまたは商品Bの少なくとも一方を購入した全顧客を求めるため和集合を使う。積集合は両方に共通する要素、差集合は一方には含まれるがもう一方には含まれない要素、補集合は全体集合のうち対象の集合に含まれない要素を集める。日常語の「または」は少なくとも一方を含み、AとBの両方を買った顧客も結果へ含める点が重要である。両方だけを絞る積集合と混同しない。

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正解は「連立方程式」である。連立方程式は、複数の方程式を同時に満たす未知数の値を求める問題である。設問ではxとyが一つの式だけでなく複数の式をすべて満たす必要があるため、連立方程式に当たる。逆行列は元の行列と掛けると単位行列になる行列であり、連立方程式を解く手段として使える場合はあっても問題そのものの名称ではない。行列の積は左の行と右の列を対応させる演算、固有ベクトルは線形変換を受けても方向が変わらないベクトルである。求める条件が複数の式を同時に成立させることかを確認する。

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正解は「テンソル」である。テンソルは、スカラー、ベクトル、行列を含め、数値を多次元に並べて扱うための表現である。設問では画像の縦・横・色チャネルに加え、標本をまとめる軸も持つ多次元の数値データを表しているためテンソルを選ぶ。行列の積は二つの行列から新しい行列を得る演算、リシェイプは要素数を保って配列の形状を変える操作、ブロードキャストは形状の異なる配列を展開したように扱って演算する仕組みである。データの表現そのものか、その配列へ行う操作かを分けて考える。

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正解は「局所最適解」である。局所最適解は、ある点の近傍だけを見たときに関数値が最も良い点だが、定義域全体で最良とは限らない。設問では近くの点より損失が小さい一方、離れた場所にさらに小さい点があるため局所最適解に当たる。大域最適解は定義域全体で見て最も良い点であり、設問の条件には合わない。停留点は微分や勾配が0になる点で、必ずしも最小値ではない。勾配は各変数についての偏微分を並べ、関数が最も増える方向を示すベクトルである。比較範囲が近傍か全体かを確認する。

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正解は「1」である。ベクトルの内積は対応する要素どうしを掛け、その結果を足し合わせる。本問では1×4+2×0+3×(-1)=4+0-3=1となる。-3は最後の要素の積だけを答えた値、3は負号を落として4+0-1とした値、7は4+0+3として負の要素を正に扱った値である。要素数が同じことを確認し、対応位置をずらさず、負号を含めて積を作ってから合計するのが再現可能な手順である。内積は要素ごとの積を並べたベクトルではなく、最後に和を取った1つの数になる。

https://raw.githubusercontent.com/The-Japan-DataScientist-Society/skills-checklist/main/data_science.csv （2026-08-31公式CSV No.1照合）

正解は「11」である。行列積ABの第1行第2列は、Aの第1行とBの第2列の対応要素を掛けて足すため、1×3+2×4=3+8=11となる。7は1×3+2×2のように列の要素を取り違えた値、10は1×2+2×4として先頭の3を2へ読み違えた値、14は指定された行列積とは異なる計算である。行列全体を一度に眺めるのではなく、求める位置に対応する左行列の行と右行列の列を固定して内積を取ることが判断軸になる。積の別の位置を求める場合も、行番号はAから、列番号はBから選ぶ同じ手順を再利用できる。

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正解は「(3,2)」である。Ax=bの両辺へ左からAの逆行列を掛けるとx=Aの逆行列×bとなる。与えられた逆行列は対角成分だけが非ゼロなので、第1成分は(1/2)×6=3、第2成分は(1/4)×8=2である。(3,32)は第2成分で1/4を掛けず4を掛けた値、(12,2)は第1成分で1/2を掛けず2を掛けた値、(12,32)は両方を逆向きに掛けた値である。逆行列の分数をさらに反転させず、行列とベクトルの積として各成分を計算する。得たxを元のAxへ代入してbへ戻るかを確認すれば、計算方向の取り違えも検出できる。

https://raw.githubusercontent.com/The-Japan-DataScientist-Society/skills-checklist/main/data_science.csv （2026-08-31公式CSV No.3照合）

正解は「6」である。導関数は各入力値における関数の瞬間的な変化率、すなわち接線の傾きを与える。本問では導関数そのものがf'(x)=2xと与えられているため、xへ3を代入してf'(3)=2×3=6と求める。2は係数だけを答えた値、3は代入する入力値そのもの、9は元の関数をx²と推測してf(3)を答えた値である。設問が求めるのは関数値ではなく傾きなので、fではなくf'へ指定されたxを代入することが決め手になる。別の点を問われても、与えられた導関数へその点のxを代入する手順は変わらない。

https://raw.githubusercontent.com/The-Japan-DataScientist-Society/skills-checklist/main/data_science.csv （2026-08-31公式CSV No.6照合）

正解は「1/2」である。連続型確率変数が区間に入る確率は、その区間で確率密度関数を定積分した面積に等しい。本問では1から3までの区間幅が2、高さが1/4なので、長方形の面積は2×1/4=1/2となる。1/4は密度の高さだけを確率とした値、3/4は上端3へ密度1/4を掛けて下端を考慮しない値、1は全区間0から4までの面積である。密度の値と区間確率を区別し、対象区間の幅を掛けることが判断の中心になる。全範囲の面積4×1/4=1も確認すると、密度関数としての整合性を併せて確かめられる。

https://raw.githubusercontent.com/The-Japan-DataScientist-Society/skills-checklist/main/data_science.csv （2026-08-31公式CSV No.7照合）

正解は「[[4,4],[10,8]]」である。積ABの各要素は、Aの行とBの列の内積で求める。第1行第1列は1×2+2×1＝4、第1行第2列は1×0+2×2＝4、第2行第1列は3×2+4×1＝10、第2行第2列は3×0+4×2＝8なので、AB=[[4,4],[10,8]]となる。[[2,0],[3,8]]は同じ位置どうしを掛ける要素積、[[2,4],[7,10]]は順序を逆にしたBA、[[3,2],[4,6]]は対応要素を足した値を並べており、いずれも行列積ではない。四つの要素を同じ行・列規則で計算し、配置まで一致させる必要がある。

https://raw.githubusercontent.com/The-Japan-DataScientist-Society/skills-checklist/main/data_science.csv （No.2）・https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.matmul.html （2026-08-31確認）

正解は「8」である。xで偏微分するときはyを定数として扱う。x²の偏微分は2x、3xyはyを定数とみなして3y、y²はxを含まないため0となり、∂f/∂x＝2x+3yである。点(1,2)を代入すると2×1+3×2＝2+6＝8となる。2はx²の項だけを微分し、5は3xyを3としてy=2を掛けず、7はxではなくyで偏微分した∂f/∂y＝3x+2yを評価した値である。どの変数で偏微分するかを先に固定し、他方を定数として各項を処理する。求めた8は、点(1,2)でyを2に固定し、x方向へわずかに動かしたときの関数値の変化率を表す。

https://raw.githubusercontent.com/The-Japan-DataScientist-Society/skills-checklist/main/data_science.csv （No.6）・https://ocw.mit.edu/courses/18-02sc-multivariable-calculus-fall-2010/3299372c0b77500ada4ea558fea4db80_MIT18_02SC_MNotes_ta1.pdf （2026-08-31確認）

正解は「(6,4)」である。元のテンソルの要素数は2×3×4＝24個である。reshapeはデータ自体を変えず互換性のある新しい形状へ並べ直すため、各次元の積が同じ24になる必要がある。(6,4)は6×4＝24で条件を満たす。(2,3,5)は30個、(4,4)は16個、(2,4,4)は32個を必要とし、元の24個と一致しない。次元の個数が変わってもよいが、明示した各次元の積、すなわち総要素数は保存されることを先に確認する。reshapeは不足分を補間したり余分な要素を削除したりする操作ではないため、総要素数が異なる形状は選べない。

https://raw.githubusercontent.com/The-Japan-DataScientist-Society/skills-checklist/main/data_science.csv ・https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.reshape.html （2026-08-31確認）

正解は「2」である。行列Aをvへ掛けると、Av=(2×1+0×0, 0×1+3×0)の転置=(2,0)の転置となる。これは元のv=(1,0)の転置を2倍したベクトルなので、Av=2vが成り立ち、vに対応する固有値λは2である。1はvの第1成分をそのまま固有値と誤認した値、3は別の標準基底ベクトル(0,1)の転置に対応する固有値、5は対角成分2と3を足した値であり、本問のvに対する伸縮率ではない。固有値を対角成分から推測するだけでなく、実際にAvを計算して元の非ゼロベクトルvの何倍かを確認することが判断の要点である。

https://raw.githubusercontent.com/The-Japan-DataScientist-Society/skills-checklist/main/data_science.csv ・https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.linalg.eig.html （2026-08-31確認）

正解は「内側の次元2が一致し、形状は(3,4)」である。通常の行列積では、左行列Aの列数2と右行列Bの行数2が一致するため計算できる。結果の行数はAの行数3、列数はBの列数4を引き継ぐので、積ABの形状は(3,4)となる。計算できないという選択肢は、比較すべき内側の次元ではなく外側の3と4を比較している。(2,2)は一致した内側の次元だけを結果へ残す誤り、(3,2)は同じ位置の要素を掛ける要素積と混同した誤りである。形状(m,n)と(n,p)の積は、内側のnが一致するかで計算可能性を確認し、外側の(m,p)を結果の形状として残す。実際の各要素はAの1行とBの1列の内積で求めるため、結果にはAの3行とBの4列に対応する12要素が並ぶ。

https://raw.githubusercontent.com/The-Japan-DataScientist-Society/skills-checklist/main/data_science.csv （No.2）・https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.matmul.html （2026-08-31確認）