DS検定 第3章 数学的基礎 予想問題と解説

正解は「固有ベクトルと固有値」である。ある行列による線形変換を受けても向きが変わらないベクトルを固有ベクトルといい、そのときの伸縮の倍率を固有値という。「逆行列と連立方程式」は、逆行列を用いて連立方程式を解くという道具と用途の関係であり、方向が変わらないベクトルの話ではない。「テンソルと軸」は多次元配列の次元方向を指す言葉であり、線形変換による向きの保存とは別の概念である。「ベクトルの内積と転置」は、ベクトル同士の内積という演算と、行列やベクトルの行と列を入れ替える転置という操作であり、いずれも変換後に向きが保たれるかどうかを説明する概念ではない。

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正解は「停留点は必ずしも極値にならない」である。停留点は導関数や勾配が0になる点だが、その前後で関数が増加から減少（またはその逆）に転じているとは限らない。前後で増減の向きが変わらない点は、微分が0でも極値にはならず、局所最適解や大域最適解と機械的に一致するとは限らない。「停留点は必ず極値になる」は、増減が変わらない停留点の存在を無視した言い方である。「極値は停留点にならない」は、極値では導関数や勾配が0になるという定義そのものと矛盾する。「停留点と極値は無関係な概念である」は、極値になる停留点も現に存在するため、両者を無関係と言い切るのは行き過ぎである。

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正解は「確率密度関数を定積分することで確率が得られる」である。連続型確率分布では、ある一点の密度の値そのものを確率とは解釈しない。区間を決め、その範囲の確率密度関数を定積分して面積として求めることで、その区間に入る確率を表す。設問では確率密度関数の値と、区間に入る確率を区別する。一点の値をそのまま確率とみなす選択肢や、確率と無関係とする選択肢を除外し、定積分によって確率を得る説明を選ぶ。密度の高さではなく、定めた区間の面積が確率に対応すると整理する。

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正解は「積集合」である。ANDは複数の条件を同時に満たすものだけを選ぶ論理演算であり、集合でいえば両方の集合に含まれる要素を残す積集合に対応する。和集合はOR、差集合は一方から他方を除く操作、補集合は否定に近い操作として区別する。判断の中心は「両方を同時に満たす」というANDの条件である。一方だけでも含める和集合、要素を除く差集合、集合の外側を扱う補集合を除外し、共通部分を残す積集合を選ぶ。ANDと積集合は、どちらも二つの条件に共通する対象だけを残す点で対応する。

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正解は「片側検定」である。テンソル操作では、軸や形状を意識して転置、リシェイプ、ブロードキャストなどを行う。片側検定は統計的仮説検定で対立仮説の方向を片側に置く考え方であり、深層学習で扱うテンソルの形状や軸を操作する処理ではない。転置は軸の並びの入れ替え、リシェイプは要素数を保った形状変更、ブロードキャストは形状の異なるテンソル同士の演算であり、いずれもテンソルという同じ対象への操作である。片側検定だけが仮説検定という統計的推測の話であり、テンソルの形状や軸そのものを扱う処理ではない点で、この4択の中で単独で異なる領域に属する。

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正解は「リシェイプ」である。リシェイプは、テンソルや行列の要素数を保ったまま形状を変える操作で、深層学習や数値計算で頻繁に使う。片側検定は統計的仮説検定、外部結合はデータ結合、データポータビリティは個人情報に関する制度論点であり、線形代数の形状操作ではない。設問では「行列やベクトル」と「形状を変える操作」の二点を対応させる。検定、制度、データ結合の用語を分野違いとして除外し、線形代数の操作であるリシェイプを選ぶ。対象と操作内容の双方を照合する。

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正解は「差集合」である。集合Aに含まれ、集合Bには含まれない要素だけを取り出す操作は、AからBを差し引く差集合である。和集合は少なくとも一方に含まれる要素、積集合は両方に含まれる要素、対称差集合は片方だけに含まれる要素を表すため、条件の読み分けが重要である。設問の条件を「Aに含まれる」と「Bには含まれない」の2つに分け、両方を満たす領域を選ぶと差集合に絞り込める。対称差集合にはBだけに含まれる要素も入るが、差集合ではA側を出発点にしてBとの共通部分を除く点まで確認する。

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向きが保たれる方向とその伸縮率を両方求めたい場面なので、固有ベクトルと固有値の組が対応する。正解は「固有ベクトルと固有値」である。ある行列による変換を受けても向きが変わらないベクトルを固有ベクトルといい、そのときの伸縮の倍率を固有値という。「転置と逆行列」は、行と列を入れ替える操作と元の変換を打ち消す行列であり、向きが保たれる方向を与えるものではない。「ベクトルの内積とテンソル」は、2つのベクトルから数値を作る演算と多次元配列であり、変換の性質を調べる概念ではない。「連立方程式と軸」は、解を求める問題と次元の方向を指す言葉にとどまる。したがって、方向と倍率の両方を示せるのは「固有ベクトルと固有値」だけである。

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勾配が0の点を見つけただけでは、その点が極値だと断定できない。正解は「停留点は必ずしも極値にならない」である。勾配が0になる点を停留点といい、極値になることもあるが、微分が0でも極値にならない点もある。「勾配が0なので必ず最小値」は、極値でない停留点や局所最適解と大域最適解の違いを見落としている。「極値の候補にならない」は、停留点がまず調べる対象であることと食い違う。「局所最適解と大域最適解は必ず一致する」は、局所最適解が複数ある関数では成り立たない。したがって、見つけた停留点が極値かどうかは追加で確かめる必要がある。

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連続量がある区間に入る確率は、確率密度関数をその区間で定積分して求める。正解は「区間の両端の間で確率密度関数を定積分する」である。確率密度関数の値は確率ではなく密度であり、区間の確率は曲線の下の面積に対応する。「区間の中央での値を確率として読み取る」は、密度を確率と取り違えている。「微分して傾きを確率とする」は、確率が面積であることと食い違う。「離散型確率分布のように確率を足し合わせる」は、連続量には当てはまらない考え方である。したがって、区間の確率を求める操作は定積分である。

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顧客でありかつ反応者でもある人だけを抽出するので、積集合が対応する。正解は「積集合」である。積集合は2つの集合の両方に属する要素だけを集める演算で、論理演算のANDに対応する。和集合は片方にしか属さない人も含み、差集合は顧客から反応者を除いてしまう。対称差集合は一方にだけ属する人を集めるため、両方に属する人を取り除く。したがって、顧客であり、かつキャンペーン反応者でもあるという両方の条件を同時に満たす人を取り出す集合演算は、積集合である。

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形状操作ではないものを選ぶ問題なので、配列の軸や形状を扱わない用語を探す。正解は「両側検定」である。両側検定は、差の向きを問わずに行う仮説検定であり、統計的推測の手法である。「転置」は行と列を入れ替える操作、「リシェイプ」は要素の並びを保って形状を変える操作、「ブロードキャスト」は形状の異なる配列を自動で拡張して演算できるようにする仕組みであり、いずれも配列の形状を扱う。したがって、4つの選択肢のうち、配列の形状ではなく仮説検定の手法を指す「両側検定」だけが、設問の求める「形状操作ではないもの」にあたる。

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要素数を変えずに配列の形状だけを変えたいので、形状を整える操作が必要になる。正解は「リシェイプ」である。リシェイプは、要素の並びを保ったまま配列の形状を変える操作で、モデルが受け取れる形状へ整えるときに使う。「ブロードキャスト」は形状の異なる配列を演算するための自動拡張の仕組みで、形状を指定して変える操作ではない。「外部結合」は表を結ぶデータ加工、「片側検定」は仮説検定であり、どちらも配列の形状を扱わない。したがって、設問の操作はリシェイプである。

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会員から休会者を除いた人を得たいので、Aには属するがBには属さない要素を集める演算が必要になる。正解は「差集合（Aに属しBに属さない人）」である。差集合は、集合Aからその集合Bに含まれる要素を取り除いた集合を表す。和集合は休会者も含めてしまい、積集合は休会している会員だけを取り出す。対称差集合は会員でない休会者も含めるため、Aから休会者だけを除いた集合にはならない。したがって、会員集合Aから休会者集合Bに属する人を取り除いた集合を得る演算は、差集合である。

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Aの逆行列を使って連立方程式を解くので、両辺にその逆行列を掛けてxだけを残す計算になる。正解は「Aの逆行列を、bの左から掛ける」である。Ax=bの両辺に左からAの逆行列を掛けると、左辺はxだけになり、xが求まる。「Aの転置行列を掛ける」は、転置行列が一般には逆行列と異なるため左辺をxだけにできない。「bとAの内積をとる」は数値を作る演算で、解となるベクトルを与えない。「要素どうしを割る」は、行列の連立方程式を解く操作ではない。したがって、設問の計算は、逆行列をbの左から掛けることである。

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現在の点で関数が最も急に増加する向きを知りたいので、その点での変化を表す量が必要になる。正解は「勾配」である。勾配は、各変数についての偏微分を並べたもので、関数が最も急に増加する向きを示す。損失関数を小さくするときは、勾配と逆向きに進む。「局所最適解」は近くの範囲で最適な点、「確率密度関数」は連続量の確率を表す関数であり、増加の向きを与えない。「大域最適解」は関数全体で最適な点であり、現在の点での向きを示さない。したがって、設問の量は勾配である。

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連続量の確率は区間の面積で決まるので、1つの値だけでは面積が生じない。正解は「0であり、幅のない区間の定積分は0になる」である。連続量が区間に入る確率は、その区間で確率密度関数を定積分して求める。ちょうど1つの値は幅のない区間にあたるため、定積分が0になり、確率は0になる。「その点での値と等しい」は、密度を確率と取り違えている。「1である」は、起こりうる全体の確率を表す値で、1つの値の確率ではない。「微分した値と等しい」は、傾きを確率とみなす誤りである。したがって、ちょうど1つの値になる確率は0である。

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休会者に属さない会員だけを取り出すので、全体のうち集合Aに含まれない要素を集める演算が必要になる。正解は「補集合」である。補集合は、全体の集合Uのうち集合Aに属さない要素を集める。「積集合」は共通部分、「和集合」はいずれかに属する要素、「対称差集合」はどちらか一方だけに属する要素を集める演算で、いずれも全体からAを除く操作ではない。全体から特定の集合に属する要素を除いた残りを求める場面では、この補集合を使う。したがって、全会員の集合Uのうち、休会者の集合Aに属さない人だけを取り出す集合演算は、補集合である。

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形状が異なる配列を、小さい方を自動で拡張して演算したいので、そのための仕組みが必要になる。正解は「ブロードキャスト」である。ブロードキャストは、形状の異なる配列どうしを演算するとき、小さい配列を自動で拡張して形をそろえる仕組みで、(4,)の配列を(3, 4)の各行に対して拡張して加算できる。「転置」は行と列を入れ替える操作、「リシェイプ」は要素数を保って形状を変える操作であり、要素数の異なる配列を拡張する仕組みではない。「片側検定」は仮説検定で、配列の演算とは関係しない。したがって、設問の仕組みはブロードキャストである。

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行と列を入れ替える操作を答える問題である。正解は「転置」である。転置は、行列の行と列を入れ替える操作で、(i, j)成分が(j, i)成分に移る。「リシェイプ」は要素の並びを保ったまま形状を指定して変える操作で、行と列の入れ替えとは異なる。「ブロードキャスト」は形状の異なる配列の演算のために小さい方を拡張する仕組み、「逆行列」は掛けると単位行列になる行列であり、どちらも行と列を入れ替える操作ではない。したがって、設問の操作は転置である。

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どちらか一方にだけ属して両方には属さない要素を集めるので、共通部分を除いた集合演算が必要になる。正解は「対称差集合」である。対称差集合は、AとBのどちらか一方にだけ属する要素を集める演算で、ベン図ではAとBの重なる部分を除いた領域にあたる。「和集合」は重なる部分も含み、「積集合」は重なる部分だけを集める。「補集合」は全体のうちある集合に属さない要素を集める演算で、2つの集合の片方だけを集めるものではない。したがって、設問の集合演算は対称差集合である。

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誤っている説明を選ぶので、固有ベクトルと固有値の定義と食い違うものを探す。正解は「固有ベクトルは、行列による変換を受けると、必ず長さが0になるベクトルである」である。固有ベクトルは、行列による変換を受けても方向が変わらないベクトルで、そのときの伸縮の倍率が固有値である。長さが必ず0になるわけではない。固有値が倍率を表すこと、方向が変わらないこと、変換の特徴を調べるのに使うことは、いずれも正しい説明である。したがって、必ず長さが0になるとする説明が、設問の誤った説明である。

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誤っている説明を選ぶので、例外を許さない言い切りに注意する。正解は「停留点は、必ず極値になる」である。勾配が0の点である停留点は、極値になることもあるが、極値にならない点もあるため、必ず極値になるとは言えない。停留点が極値になること、極値の候補として調べる対象であること、局所最適解と大域最適解が一般には一致しないことは、いずれも正しい説明である。したがって、必ず極値になるとする説明が、設問の誤った説明である。勾配が0であることは、極値かどうかを調べる出発点にすぎず、見つけた時点で最適化が完了したとは言えない。

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誤っている説明を選ぶので、密度と確率の違いに注意する。正解は「確率密度関数の値は、そのまま確率を表す」である。確率密度関数の値は密度であり、そのまま確率を表さない。区間の確率は、その区間で確率密度関数を定積分した面積で求める。区間の確率を定積分で求めること、特定の1つの値の確率が0であること、全体の面積が1になることは、いずれも正しい説明である。したがって、値をそのまま確率とする説明が、設問の誤った説明である。連続量では、確率は1点の値ではなく、区間にわたる面積として扱う点が、離散的な確率との大きな違いである。

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誤っている説明を選ぶので、各演算の定義と食い違うものを探す。正解は「積集合は、AまたはBの少なくとも一方に属する要素をすべて集める」である。AまたはBの少なくとも一方に属する要素を集めるのは和集合で、積集合はAとBの両方に属する要素だけを集める演算である。差集合、対称差集合、補集合の説明は、いずれも定義に合っている。したがって、積集合を和集合の定義で説明した選択肢が、設問の誤った説明である。和集合と積集合は、いずれかに属するか両方に属するかで区別でき、用語を取り違えると演算の意味も入れ替わってしまう。

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誤っている説明を選ぶので、各操作の定義と食い違うものを探す。正解は「転置は、配列の要素の平均やばらつきをそろえる操作である」である。平均やばらつきをそろえる操作は標準化であり、転置は行と列を入れ替える操作である。リシェイプが要素数を保って形状を変える操作であること、転置が行と列を入れ替える操作であること、ブロードキャストが形状の異なる配列を演算できるように小さい方を自動で拡張する仕組みであることは、いずれも正しい説明である。したがって、転置を標準化の説明で述べた選択肢が、設問の誤った説明である。

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誤っている説明を選ぶので、各用語の定義と食い違うものを探す。正解は「リシェイプは、配列の要素を新しく書き加えて、要素数を増やす操作である」である。リシェイプは、要素数を保ったまま、配列の形状を指定して変える操作で、要素数は変わらない。転置が行と列を入れ替える操作であること、ブロードキャストが形状の異なる配列の演算のために小さい方を拡張する仕組みであること、テンソルが多次元の配列であることは、正しい説明である。したがって、リシェイプで要素数が増えるとする説明が、設問の誤った説明である。

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誤っている説明を選ぶので、集合演算の定義の取り違えを探す。正解は「対称差集合は、AとBの両方に属する要素だけを集める」である。AとBの両方に属する要素だけを集めるのは積集合で、対称差集合は、どちらか一方にだけ属する要素を集める。和集合が少なくとも一方に属する要素を集めること、差集合がAに属しBに属さない要素を集めること、ベン図が集合の関係を図で表す方法であることは、正しい説明である。したがって、対称差集合に積集合の内容を当てはめた説明が、設問の誤った説明である。

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正解は「対称差集合」である。対称差集合は二つの集合のうち、どちらか一方には含まれるが両方には共通して含まれない要素を集めた集合を指す。和集合は二つの集合の少なくとも一方に含まれる要素を全て集めるため、両方に共通する要素も含む。積集合は両方に共通する要素だけを集める。補集合は、ある集合に含まれない要素を全体集合との関係で捉える考え方であり、二つの集合の片方だけにある要素を比較する操作ではない。両方に共通する要素を含めるか除くかを先に確認すると、対称差集合を判断できる。

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正解は「停留点」である。停留点は関数の値の変化が止まる候補となる点であり、局所最適解や大域最適解を検討する際に確認する。勾配は関数が最も増加する方向や変化の大きさに関わる概念、偏微分は複数の変数を持つ関数で一つの変数に着目する微分である。定積分はある範囲での量を求める操作であり、値が変化しない候補の点を直接表す語ではない。候補点が最適解であるかを判断するには、停留点を見つけた後にその周辺で関数の値がどう変わるかをさらに確認する。設問では微分の方法や面積の計算ではなく、最適解を探す際の候補点を問うている。したがって停留点を選ぶ。

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正解は「内積」である。内積では、二つのベクトルの同じ位置にある要素を掛け合わせ、その結果を合計する。行列の積は行列の行と列を対応させる別の演算であり、転置は行列の行と列を入れ替える操作である。リシェイプは要素の並びを保ちながら配列の形状を変更する。計算対象が二つのベクトルであり、対応要素の積の総和を求めていることを手掛かりに区別する。各要素を独立に処理した後、ひとつの数値へ集約する点を押さえると、形状の変更や行列演算との混同を避けられる。したがって内積を選ぶ。

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正解は「逆行列」である。逆行列は、対象となる行列に掛け合わせると単位行列になる行列を指す。転置行列は行と列を入れ替えた行列であり、掛け合わせて単位行列に戻すという性質を意味しない。固有ベクトルは特定の線形変換で向きが変わらないベクトル、テンソルは多次元の値を扱う表現である。設問では、行列の形を変える操作ではなく、行列演算の結果として単位行列を得る関係を問うている。対象行列を元に戻す役割に注目すると区別できる。なお、すべての行列に逆行列があるわけではないため、設問は逆行列が定義できる対象を前提にしている。したがって逆行列を選ぶ。

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正解は「補集合」である。補集合は、全体集合Uを基準にして集合Aに含まれない要素を集めた集合を指す。設問では全社員を全体集合、研修受講者を集合Aとしているため、未受講者を取り出すには補集合を使う。和集合はどちらか一方に含まれる要素、積集合は両方に共通する要素、対称差集合はどちらか一方だけに含まれる要素を扱う。まず全体集合が明示されているかを確認すると、補集合を選べる。A以外という表現だけでなく、どの集合を基準にするかを必ず確認する。全体集合がない場合は補集合を一意に定められない。

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正解は「ベン図」である。ベン図は、複数の集合の関係を重なり合う円などの図形で視覚的に表す図である。設問では集合Aと集合Bの共通部分、どちらか一方だけに属する部分を確認したいため、円の重なりで関係を示すベン図を使う。散布図は二つの量的変数の関係を点で表す図、平行座標は複数の数値指標を平行な軸と線で表す図、デンドログラムは階層クラスタリングの結合関係を木の形で表す図である。集合の重なりを問う問題では、数値の関係やクラスタではなく、要素がどの集合に属するかを表せる図を選ぶ。

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正解は「導関数」である。導関数は、変数の変化に対する関数値の変化率を入力値ごとに表す関数である。設問は一変数の関数について瞬間的な変化率を求めているため導関数を選ぶ。定積分は指定した区間で関数を積み上げた量を扱う。偏微分は多変数関数で、着目する一つの変数以外を定数とみなして行う微分である。中央値はデータを順に並べた中央の値であり、関数の変化率ではない。変数が一つか複数か、変化率か区間の累積量かを分けて判断する。設問の「入力値ごとに表す関数」という表現も、一点の数値だけではなく変化率を返す関数そのものを求めている手掛かりになる。

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正解は「偏微分」である。偏微分は、多変数関数について着目する一つの変数以外を定数とみなし、その変数に関する変化率を求める方法である。設問では売上予測が価格と広告費の二変数で決まり、広告費を固定して価格だけを変えているため、価格に関する偏微分を考える。定積分は区間での累積量、標準偏差はデータのばらつき、行列の積は行列同士の演算を扱う。変数が複数あり、他の変数を固定して一つだけの影響を見る条件を手掛かりにする。すべての変数を同時に動かすのではなく、一つの変数に着目するという設問の操作が、偏微分を選ぶ決め手である。

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正解は「NOT」である。論理演算のNOTは、真を偽に、偽を真に反転する否定の演算である。会員フラグが真ではない利用者を抽出する設問では、会員であるという真偽値を反転させるNOTを使う。ANDは二つの条件がともに真のとき真、ORはいずれかが真のとき真、XORはいずれか一方だけが真のとき真になる演算である。条件を組み合わせるのか、一つの条件の真偽を反転するのかを区別すると判断できる。設問には二つ目の条件が示されていないため、複数条件を結ぶAND・OR・XORではなく、単一条件を否定するNOTが適切である。

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正解は「行列の積」である。行列の積は、左の行列の行と右の行列の列について対応する要素を掛け、その合計を新しい行列の要素とする演算である。設問は行と列を対応させて新しい行列を作るため行列の積を選ぶ。ベクトルの内積は二つのベクトルの対応要素を掛けて合計し一つの値を得る演算、転置は行列の行と列を入れ替える操作、逆行列は元の行列と掛けると単位行列になる行列である。結果が一つの値か新しい行列か、行列の形を入れ替えるだけかを確認して区別する。左の列数と右の行数が対応する計算であることも確認する。

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正解は「ブロードキャスト」である。ブロードキャストは、形状の異なる配列同士を、要素を展開したように扱って演算する仕組みである。設問では一つのベクトルを行列の各行へ繰り返し対応させ、要素ごとに加えるためブロードキャストを使う。リシェイプは要素数を変えずに配列の形状を変更し、転置は行と列を入れ替える。行列の積は左の行と右の列の対応要素を掛けて足し、新しい行列を得る演算である。実際に同じベクトルのコピーを複数用意するのではなく、異なる形状を演算可能に扱う点が決め手になる。

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