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2つの比率の差のz検定と2×2のカイ二乗検定の違い｜A/Bテストの結果をどちらで判定するか（統計検定2級）

2つの母比率の差のz検定と、2×2の表にまとめたカイ二乗検定は、2×2のデータなら結論が必ず一致します。A案とB案で成果の割合に差があるかを調べるA/Bテストは2群の割合の比較なので、どちらでも判定できます。

この記事の根拠と出典

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z検定とカイ二乗検定の要点

z検定

2つの標本比率の差を、プールした標本比率から作る標準誤差で割ったz統計量を、標準正規分布の値と比べる。NISTは、両側検定と片側検定の両方を示す。

カイ二乗検定

2×2の表の観測度数と、群と結果が無関係なら期待される度数のずれ Σ(O−E)²÷E を、自由度1のカイ二乗分布の値と比べる。

2×2での関係

カイ二乗統計量は z の2乗に等しい（当サイトによる導出）。5%水準の臨界値も 1.960²＝3.8416 が 3.841 に対応し、結論は必ず一致する。

違いを表で確認

比較軸z検定カイ二乗検定
検定統計量z検定：z＝(p̂₁−p̂₂)÷√( p̂(1−p̂)(1/n₁＋1/n₂) )。p̂ は2群を合わせた成功割合カイ二乗検定：χ²＝Σ(観測度数−期待度数)²÷期待度数。期待度数は 行合計×列合計÷総数
比べる分布z検定：標準正規分布。両側なら |z| を z(1−α/2) と、片側なら z を z(1−α) と比べる（NIST）カイ二乗検定：自由度 (行数−1)×(列数−1) のカイ二乗分布。2×2なら自由度1
片側検定z検定：「Aの割合のほうが大きい」のように向きを決めた片側検定ができるカイ二乗検定：差が正でも負でも統計量は大きくなる。向きを決めた判定には、符号を持つz統計量が必要
広げられる範囲z検定：2群×成功か失敗かの2通りに限るカイ二乗検定：3案以上や、結果が3通り以上の表にも、同じ式で広げられる
標本が小さいときz検定：正規近似が前提。NISTは小標本にフィッシャーの正確確率検定を勧めるカイ二乗検定：期待度数が小さいと近似が悪くなる点は同じ。同じ2×2表なのでフィッシャーの正確確率検定が代わりになる

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どこで迷っているかを切り分ける

01

A/Bテストの結果を2×2の表にしたら、どちらで検定すればよいか迷う人

2案を比べるだけなら、どちらでも同じ結論になります。「Aのほうが高いと言えるか」と向きまで問うならz検定、「差があるか」だけならどちらでも構いません。

02

A・B・Cと3案を同時に比べたい人

z検定は2群の比較なので使えません。3行×2列の表にまとめ、自由度 (3−1)×(2−1)＝2 のカイ二乗検定で「どこかに差があるか」を調べます。どの案とどの案の間に差があるかは、このあと別に調べます。

03

問題文にz統計量とカイ二乗統計量の両方が出てきて混乱した人

2×2の表なら χ²＝z² の関係があります。z＝2.113 なら χ²＝4.46 です。片方の値が分かれば、もう片方も二乗か平方根で求まります。

04

標本が少なく、どの式でも近似が心配な人

NISTは、小標本の2×2表にはフィッシャーの正確確率検定を勧めます。z検定もカイ二乗検定も、標本が十分に大きいことが前提の近似です。

具体例で使い分ける

例 1

ボタンの案Aと案Bで、クリックした人の割合を比べる（架空のデータ）

案Aを見た120人のうち78人が、案Bを見た80人のうち40人がクリックしました。クリック率は、Aが 78÷120＝0.65、Bが 40÷80＝0.50 です。帰無仮説は「2案のクリック率は等しい」、有意水準は5%の両側検定とします。

  • z検定：2群を合わせた割合は p̂＝(78＋40)÷(120＋80)＝118÷200＝0.59。標準誤差は √( 0.59×0.41×(1/120＋1/80) )＝約0.07099。z＝(0.65−0.50)÷0.07099＝約2.113 です。
  • カイ二乗検定：期待度数は、Aのクリック 120×118÷200＝70.8、Aの非クリック 49.2、Bのクリック 47.2、Bの非クリック 32.8。χ²＝(78−70.8)²÷70.8＋(42−49.2)²÷49.2＋(40−47.2)²÷47.2＋(40−32.8)²÷32.8＝約4.465 です。
  • 関係の確認：2.113²＝約4.465 で、χ² と一致します。

結論: z＝2.113 は臨界値 1.960 より大きく、χ²＝4.465 は 自由度1の5%点 3.841 より大きいので、どちらでも帰無仮説を棄却します。両側のp値は約0.035です。

例 2

同じデータで「Aのクリック率のほうが高い」を片側検定する（架空のデータ）

同じ表で、対立仮説を「Aのクリック率はBより大きい」とします。有意水準は5%です。

  • z検定：片側検定では z を z(1−α)＝1.645 と比べます。z＝2.113 は 1.645 より大きいので棄却します。片側のp値は約0.017で、両側の約0.035の半分です。
  • カイ二乗検定：統計量 4.465 は、AがBより高い場合でも、低い場合でも同じ値になります。向きを決めた判定をするには、差の符号を持つ z を使います。

結論: 向きを決めた片側検定はz検定の役割です。結論の向きが逆（Bのほうが高い）なら、z は負になり、片側検定は棄却されません。

問題文から答えを選ぶ手順

  1. 1

    比べる群の数を数える

    2群ならz検定もカイ二乗検定も使えます。3群以上ならカイ二乗検定に進みます。

  2. 2

    知りたいのが「差」か「向き」かを決める

    「差があるか」だけならどちらでも構いません。「Aのほうが大きいか」と向きまで問うなら、符号を持つz検定にします。

  3. 3

    統計量を求める

    z検定はプールした割合から標準誤差を作ってzを求めます。カイ二乗検定は期待度数を作って Σ(O−E)²÷E を求めます。

  4. 4

    分布の値と比べる

    zは標準正規分布の値、χ²は自由度に応じたカイ二乗分布の値と比べます。2×2なら、結論は同じになります。

試験での見分け方

  • 12群×2通りの結果なら、z検定とカイ二乗検定の結論は一致する（χ²＝z²）。
  • 2向きを決めた片側検定には、符号を持つz統計量を使う。
  • 33群以上、または結果が3通り以上の表は、カイ二乗検定に広げる。
  • 4標本が小さいときは、どちらもフィッシャーの正確確率検定に切り替えを考える。

誤答しやすい選択肢

2つの検定は別物で、結論も違うと考える

修正: 2×2の表では、カイ二乗統計量は z の2乗に等しく、5%水準の臨界値も 1.960²＝3.8416 が 3.841 に対応します。結論は一致します。

カイ二乗検定で片側検定ができると考える

修正: χ²は差の向きを区別しません。向きを決めて判定したいときは、符号を持つz統計量を使います。

3案のA/Bテストに、案同士の組でz検定を何度も繰り返す

修正: 3群以上は、3行×2列の表にまとめたカイ二乗検定で全体を調べます。検定を繰り返すと、第1種の過誤の確率が高くなります。

確認問題

Q12×2の表で、z統計量が 2.0 のとき、カイ二乗統計量は？

答え: 4.0

2×2の表では χ²＝z² の関係があります。2.0 の2乗で 4.0 です。

Q2案A・B・Cの3案で、クリックした・しないを比べる独立性の検定の自由度は？

答え: 2

自由度は (行数−1)×(列数−1)。3行2列なら (3−1)×(2−1)＝2 です。

Q3「Aのクリック率のほうがBより大きい」という片側検定に向いているのは、z検定とカイ二乗検定のどちら？

答え: z検定

zは差の符号を持ち、片側検定では z を z(1−α) と比べます。カイ二乗統計量は差の向きを区別しません。

到達チェック

  • z検定とカイ二乗検定が、2×2では同じ結論になると言える
  • χ²＝z² の関係を数値で確かめられる
  • 片側検定と3群以上の比較で、どちらを使うか言える

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よくある質問

QA/Bテストでは、z検定とカイ二乗検定のどちらがよく使われる？

A

2群の割合の比較なら、どちらも同じ結論になります。使う道具によって、zを出すものも、カイ二乗を出すものもあります。値は χ²＝z² で行き来できます。

Q連続性補正をするとどうなる？

A

このページの式は連続性補正をしない形です。補正をすると統計量が少し小さくなり、z²との一致は崩れます。試験で補正を使う場面があるかは、公式の資料では確かめていません。

Q統計検定2級にこの違いは出る？

A

公式出題範囲表には、2つの母比率の差の検定とカイ二乗検定が別々に挙がっています。2つの関係そのものが問われるかは、公式の資料では確かめていません。解き方の裏づけとして読んでください。

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執筆: AI資格ドリル編集部（運営者情報を見る）