第6章カテゴリカルデータと回帰分析

統計検定2級のカイ二乗検定（適合度検定と独立性の検定の計算手順）

統計検定2級の公式出題範囲には、カテゴリカルデータの分析として、適合度検定と独立性の検定が並んでいます。2つの検定は、期待度数を求め、カイ二乗統計量を計算し、自由度を決めて臨界値と比べる、という同じ流れで解けます。違うのは、期待度数の求め方と自由度です。

このページは、サイコロの適合度検定と、2×2のクロス集計表の独立性の検定を、数字を追いながら計算します。

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結論

カイ二乗統計量は、各セルの (観測度数 − 期待度数)² ÷ 期待度数を全セルで合計する
独立性の検定の期待度数は、行合計 × 列合計 ÷ 総度数で求める
独立性の検定の自由度は、r行c列の表で (r − 1)(c − 1)
統計量が臨界値を超えたら、帰無仮説を棄却する
適合度検定は「1つの変数が理論の比率に合うか」、独立性の検定は「2つの変数に関連があるか」を調べる

4ステップの流れ

ステップ	内容
1. 期待度数を求める	帰無仮説が正しいと仮定したときの度数。適合度検定は総度数N × 理論確率、独立性の検定は行合計 × 列合計 ÷ 総度数
2. カイ二乗統計量を求める	各セルの (観測度数 − 期待度数)² ÷ 期待度数を、全セルで合計する
3. 自由度を決める	独立性の検定は r行c列で (r − 1)(c − 1)。適合度検定は、理論確率を先に決めてあるときカテゴリ数 − 1
4. 臨界値と比べる	統計量が有意水準に対応する臨界値を超えたら、帰無仮説を棄却する

一次資料: 統計検定センター「統計検定2級出題範囲」、NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods

適合度検定の計算例

NISTのカイ二乗適合度検定では、カテゴリiの観測度数をO、期待度数をEとし、χ²=Σ(O−E)²/Eを全カテゴリで合計します。総度数Nに対して各カテゴリの理論確率がpなら、期待度数はE=Npです。

計算例です（このページの架空のデータです）。サイコロを60回振り、1から6の目が 8, 12, 9, 14, 7, 10回出たとします。目が公平なら各目の理論確率は1/6で、期待度数は60×1/6=10回ずつです。

目	観測度数 O	期待度数 E	(O − E)² ÷ E
1	8	10	0.4
2	12	10	0.4
3	9	10	0.1
4	14	10	1.6
5	7	10	0.9
6	10	10	0.0

合計は 0.4+0.4+0.1+1.6+0.9+0.0 = 3.4です。理論確率を先に決めてあるので、自由度は6−1=5になります。NISTのカイ二乗分布の表では、自由度5で「臨界値より小さい確率」が0.95になる値は11.070です。3.4は11.070より小さいので、公平なサイコロという帰無仮説は棄却されません。棄却されないのは「公平でないとは言えない」という意味で、公平だと証明されたわけではありません。