統計検定2級 第6章 カテゴリカルデータと回帰分析 予想問題（2/3）

この事例では「二カテゴリ変数の関連を期待度数とのずれで調べるか」を確認すると、「2つのカテゴリ変数に関連があるかを、観測度数と期待度数のずれから調べたい場面」という説明が正しいと分かる。正解は「2つのカテゴリ変数に関連があるかを、観測度数と期待度数のずれから調べたい場面」である。独立性の検定では、クロス集計表における2つのカテゴリ変数に関連があるかを、観測度数と期待度数のずれから調べる。1つの量的変数の中央値を求めることや、母平均の信頼区間を作ること、正規分布を標準正規分布へ標準化することは、いずれもカテゴリ変数同士の関連を調べる独立性の検定とは異なる目的の手法である。独立性の検定が対象とするのは2つのカテゴリ変数の関連であり、中央値・信頼区間・標準化という別の章の手法に置き換えていないかで見分ける。

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この事例では「各セルの期待度数とのずれと表の構造か」を確認すると、「有意な結果でも、どのカテゴリがずれに寄与したかは期待度数や表の構造も見て考える」という説明が正しいと分かる。正解は「有意な結果でも、どのカテゴリがずれに寄与したかは期待度数や表の構造も見て考える」である。カイ二乗検定で有意な結果が得られても、それだけで因果関係を断定できない。どのカテゴリがずれに寄与したかは、期待度数やクロス集計表の構造を見て考える必要がある。有意であっても因果関係が必ず証明されるわけではなく、自由度が必ず0になるわけでもなく、回帰係数が必ず1になるわけでもない。カイ二乗検定の有意性が示すのはカテゴリ変数どうしの関連だけである。因果関係・自由度・回帰係数について「必ず」と言い切る選択肢は誤りと判断する。

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この事例では「各残差を二乗して合計した値か」を確認すると、「残差の2乗和」が当てはまると分かる。正解は「残差の2乗和」である。最小二乗法は、観測値と回帰直線による予測値との差である残差の2乗和を最小にするように回帰直線を求める方法である。母比率は母集団における比率を表す値、余事象はある事象が起こらないことを表す事象、自由度はt分布やカイ二乗分布など検定統計量の分布の形を定める値であり、いずれも最小二乗法が最小化する対象ではない。 最小二乗法は各観測の残差を二乗し、その総和が最小になる回帰係数を選ぶ。母比率は推定対象の母数、余事象は確率上の集合、自由度は参照分布などを決める情報量であり、回帰直線を当てはめる目的関数ではない。

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この事例では「説明変数間の強い相関による多重共線性か」を確認すると、「重回帰分析で説明変数どうしの相関が強い状況」という説明が正しいと分かる。正解は「重回帰分析で説明変数どうしの相関が強い状況」である。多重共線性は、重回帰分析において説明変数どうしの相関が強いときに、各係数の推定が不安定になり解釈が難しくなる問題である。単回帰分析は説明変数が1つのため多重共線性は生じない。クロス集計表の期待度数の計算や正規分布の標準化は、説明変数間の関係とは別の文脈の話である。 多重共線性は目的変数との相関ではなく、説明変数相互の強い線形関係が問題になる。説明変数が一つの単回帰ではこの意味の共線性は生じず、期待度数の計算や正規変数の標準化も回帰係数の不安定性とは別である。

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この事例では「近似の妥当性と表の構造を点検するか」を確認すると、「カイ二乗検定の近似の使い方に注意し、表の構造を確認する」という説明が正しいと分かる。正解は「カイ二乗検定の近似の使い方に注意し、表の構造を確認する」である。カイ二乗検定では観測度数と期待度数のずれを用いて判断するが、期待度数が小さいセルが多い場合は近似の使い方や表の構造に注意する必要がある。期待度数が小さいほど因果関係が必ず証明されるという説明、回帰係数が必ず1になるという説明、標準正規分布が存在しなくなるという説明は、いずれも根拠のない誤りである。 カイ二乗検定は各セルの観測度数と期待度数の差を近似分布で評価するため、期待度数が小さいセルが多いと近似の妥当性を点検する必要がある。因果、回帰係数、標準正規分布の存在とは関係せず、カテゴリ統合など表構造も検討する。

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この事例では「量的変数間の関係を直線で表し残差を考えるか」を確認すると、「2つの量的変数の関係を直線で近似し、予測値や残差を考える」という説明が正しいと分かる。正解は「2つの量的変数の関係を直線で近似し、予測値や残差を考える」である。回帰直線は、2つの量的変数の関係を直線で近似し、予測値や残差を考えるために使う。散布図で見える傾向を数式として表し、観測値との差を残差として評価できる。期待度数、母比率の検定、分布の変換とは別の目的である。 回帰直線は散布図上の傾向を切片と傾きで表し、説明変数から目的変数の予測値を求め、観測値との差を残差として評価する。カテゴリ度数、母比率検定の仮説、確率分布の変換は別の統計手続きである。 比較対象には「2つのカテゴリ変数の期待度数だけを表す」、「母比率の検定で帰無仮説を不要にする」、「正規分布を必ず一様分布に変える」も含まれる。

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この事例では「説明変数間相関や各回帰係数の解釈か」を確認すると、「説明力の指標だけでなく、説明変数どうしの相関や回帰係数の解釈も確認する」という説明が正しいと分かる。正解は「説明力の指標だけでなく、説明変数どうしの相関や回帰係数の解釈も確認する」である。決定係数は回帰分析の説明力を表す指標だが、それだけでモデルの妥当性や因果関係を判断できない。重回帰分析では説明変数どうしの相関である多重共線性や、回帰係数の解釈もあわせて確認する必要がある。決定係数が大きくても多重共線性の有無は保証されず、因果関係が証明されるわけでもなく、決定係数自体は期待度数とは別の指標である。決定係数の値だけでモデルの良し悪しを判断せず、多重共線性や回帰係数の解釈もあわせて確認する姿勢が重回帰分析では求められる。

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この事例では「直線モデルが関係を十分に表していない可能性か」を確認すると、「回帰直線で関係を十分に表せていない可能性を考える」という説明が正しいと分かる。正解は「回帰直線で関係を十分に表せていない可能性を考える」である。残差は観測値と回帰直線による予測値との差であり、特定の傾向が見える場合は、回帰直線でデータの関係を十分に表せていない可能性を考える必要がある。残差があるからといって母平均の検定が必ず不要になるわけではない。残差はカイ二乗検定などで用いる自由度そのものではなく、残差があっても標準正規分布を用いた考え方が使えなくなるわけでもない。 適切な線形モデルなら残差は0付近へランダムに散らばることが期待される。曲線なら非線形関係、扇形なら分散不均一など、直線モデルの仮定や変数選択が不十分な可能性を示す。残差の存在自体は検定や正規分布を無効にせず、自由度そのものでもない。

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この事例では「観測度数と期待度数のずれをカイ二乗で評価するか」を確認すると、「観測度数と期待度数のずれをカイ二乗検定の枠組みで評価する」という説明が正しいと分かる。正解は「観測度数と期待度数のずれをカイ二乗検定の枠組みで評価する」である。適合度検定と独立性の検定はいずれも、観測度数と期待度数のずれをカイ二乗検定の枠組みで評価する点が共通している。適合度検定は1つのカテゴリ変数が想定した分布に従うかを調べ、独立性の検定は2つのカテゴリ変数の関連を調べる点で対象は異なるが、評価の考え方は共通している。回帰直線の残差最小化、標準正規分布への標準化、母比率を1に固定することとは目的が異なる。 両検定は対象が1変数の分布か2変数の関連かで異なる一方、観測度数と帰無仮説から得る期待度数の差を集計する点を共有する。 両検定は対象が1変数の分布か2変数の関連かで異なる一方、観測度数と帰無仮説から得る期待度数の差を集計する点を共有する。

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この事例では「変数尺度や標準化で係数の大きさが変わるか」を確認すると、「説明変数の尺度や標準化の有無によって解釈が変わることがある」という説明が正しいと分かる。正解は「説明変数の尺度や標準化の有無によって解釈が変わることがある」である。回帰係数は説明変数が1単位変化したときに目的変数の予測値がどれだけ変化するかを表すため、説明変数をどのような尺度で測っているか、また標準化しているかどうかによって、同じ大きさの回帰係数でも意味する内容が変わることがある。回帰係数は相関係数と計算方法も表す内容も異なる指標であり、常に同じ値になるわけではない。回帰係数の値が大きいことは説明変数と目的変数の関係の強さを示唆するが、それだけで両者の間に因果関係があると必ず証明されるわけではない。期待度数はカイ二乗検定で使われる別の概念であり、回帰係数が表すものではない。

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正解は「店舗面積を一定に保つと、広告費が1単位増えるのに伴い売上は平均2単位増える」である。重回帰モデルの偏回帰係数は、ほかの説明変数を一定に保った条件で、対応する説明変数が1単位増えたときの目的変数の平均的な変化を表す。ここでは対応する変数が広告費、一定に保つ変数が店舗面積である。店舗面積側の変化を表す係数ではなく、相関係数でもない。また、加法的な1単位当たりの平均変化を、売上が必ず同じ比率で増えるという因果的・乗法的な保証へ読み替えてはいけない。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://online.stat.psu.edu/stat501/notationused （2026-08-30確認）

正解は「説明変数が多いモデルの方が、変数数へのペナルティにより小さくなる」である。切片を含む重回帰で標本サイズをn、切片を含む回帰係数の個数をpとすると、自由度調整済み決定係数は1-(1-R²)(n-1)/(n-p)で表される。設問ではn=100とR²=0.80が同じで、どちらもn-p>0であり、モデルBのpだけが大きい。したがってBでは補正項が大きくなり、調整後の値はAより小さくなる。R²=1なら両方とも1になる例外があるが、設問は0.80なので該当しない。説明変数を加えるだけで必ず大きくなる指標でも、変数数を無視する指標でもない。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://online.stat.psu.edu/stat501/Lesson05; https://www.stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/summary.lm.html （2026-08-30確認）

正解は「4」である。分散分析表の平均平方は平方和を対応する自由度で割って求める。モデルの平均平方は120÷3=40、誤差の平均平方は200÷20=10である。F統計量はモデルの平均平方を誤差の平均平方で割るので、40÷10=4となる。平方和同士だけを120÷200として0.6にしたり、自由度同士だけを比べたりせず、まず各行で平均平方へ直してから比を取ることが判断の要点である。分母と分子を逆にした10÷40=0.25も誤りである。モデルが説明する変動を誤差変動と比べるという表の構造を押さえれば、計算順序と比の向きを同時に確認できる。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://online.stat.psu.edu/stat501/Lesson05; https://itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section4/prc433.htm （2026-08-30確認）

正解は「カテゴリの水準を、コントラストに応じた数値列としてデザイン行列へ表現する」である。線形回帰の計算では説明変数を数値のデザイン行列として扱うため、カテゴリ変数の因子は設定したコントラストに応じてダミー変数の列へ展開される。ダミー変数化は欠測値の補完や目的変数の分布変換を行う処理ではない。また、符号化の結果として列間の関係は生じ得るので、多重共線性を必ず解消する手続きともいえない。カテゴリの違いを回帰式へ組み込むための表現方法だと捉える。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://www.stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/model.matrix.html （2026-08-30確認）

正解は「p値0.004と0.05」である。係数表の両側p値は、係数が0という帰無仮説のもとで得られたt統計量以上に極端な結果が出る確率として、有意水準と直接比較できる。0.004は0.05より小さいため、5%有意水準では係数が0という帰無仮説を棄却する。推定値は係数の大きさ、標準誤差は推定の不確かさ、t値は推定値を標準誤差で基準化した検定統計量であり、ここで有意水準0.05と直接比較する出力欄はp値である。棄却は係数が実務上重要だと自動的に保証する判断ではない。係数の符号・大きさと統計的有意性は、それぞれ推定値とp値から分けて読む必要がある。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://www.stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/summary.lm.html （2026-08-30確認）

正解は「各ソフトウェアの文書で、出力される確率の定義と有意性の向きを確認する」である。統計ソフトウェアは、同じF統計量に関連する確率でも、上側確率であるp値を表示する場合と、別の向きの確率を表示する場合があり、数値の大小だけを機械的に比較すると判断を逆にするおそれがある。表示が異なることだけで一方を正しいと決めたり、両方を無効としたりはできない。F統計量と決定係数も別の指標である。出力名、確率の定義、有意水準との比較方向をソフトウェアごとに確認する。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://itl.nist.gov/div898/handbook/mpc/section3/mpc365.htm （2026-08-30確認）

正解は「20」である。独立性の検定における各セルの期待度数は、対応する行合計×列合計÷総度数で求める。本問では40×50÷100＝20となる。16は行合計40の40%を取った値で、列合計50という条件を正しく反映していない。40と50はそれぞれ周辺度数であり、行Aかつ購入ありという交差セルの期待度数ではない。独立を仮定すると、全体で購入ありが占める割合50/100＝0.5が行Aにも当てはまるため、40×0.5＝20と考えても同じ結果になる。観測度数ではなく帰無仮説のもとで見込まれる度数を計算している点が要点である。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section4/prc45.htm （2026-08-31確認）

正解は「5」である。各セルのカイ二乗統計量への寄与は(観測度数-期待度数)²÷期待度数で求める。差は30-20＝10、その二乗は100、期待度数20で割ると100÷20＝5となる。0.5は差10を期待度数20で割っただけで二乗を省いた値、10は観測度数と期待度数の差だけを答えた値、50は差の二乗100を誤って2で割った値である。カイ二乗統計量はこの5だけで検定するのではなく、表の全セルについて同じ計算を行い、その寄与を合計する。差を二乗するため、観測度数が期待度数より上か下かにかかわらず各セルの寄与は非負になる。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/ppc/section2/ppc24.htm （2026-08-31確認）

正解は「0.80」である。切片を含む線形回帰の決定係数は、回帰平方和SSRを全平方和SSTで割って求めるため、72÷90＝0.80となる。誤差側から1-SSE/SST＝1-18/90＝1-0.20＝0.80と検算しても一致する。0.20は説明されずに残った変動の割合SSE/SST、0.72は回帰平方和72を比率へ直さず小数点だけ動かした値、0.90は全平方和90を同様に小数化した値である。SSR+SSE＝72+18＝90＝SSTという変動の分解も成立しており、このモデルが目的変数の全変動の80%を回帰で説明していることを表す。因果関係を80%証明する意味ではない。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://online.stat.psu.edu/stat501/Lesson05 （2026-08-31確認）

正解は「0.665」である。式へn=20、p=3、R²=0.70を代入すると、1-(1-0.70)×(20-1)/(20-3)＝1-0.30×19/17となる。0.30×19/17＝5.7/17＝約0.3353なので、1-0.3353＝約0.6647、四捨五入して0.665である。0.700は調整前の決定係数をそのまま答えた値、0.895は1-0.30×6/17など係数個数の扱いを誤った値である。0.600も自由度比19/17を正しく掛けていない。自由度調整では説明変数を増やすことへのペナルティが入るため、この条件では調整済みの値が0.70より少し小さくなる。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://online.stat.psu.edu/stat501/Lesson05 （2026-08-31確認）

正解は「4」である。どのセルも観測度数と期待度数の差の絶対値が5なので、各セルの寄与は(30-25)²÷25または(20-25)²÷25＝25÷25＝1となる。クロス集計表には4セルあるため、カイ二乗統計量は1+1+1+1＝4である。1は一つのセルの寄与だけ、2は対角の2セルだけを合計した値、20は4セルの差の絶対値5をそのまま足した値であり、二乗して期待度数で割る工程を反映していない。差が正か負かにかかわらず二乗後の寄与は非負であり、表全体の検定統計量では全セルを漏れなく合計する。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section4/prc45.htm （2026-08-31確認）

正解は「6」である。r行c列のクロス集計表に対する独立性のカイ二乗検定では、自由度は(r-1)(c-1)で求める。本問は3行4列なので、(3-1)×(4-1)＝2×3＝6となる。2は行数だけから3-1を求めた値、5は行と列からそれぞれ1を引いた2と3を足した値、12は行数3と列数4をそのまま掛けたセル数である。行合計と列合計による制約があるため全12セルが独立に変化できるわけではなく、臨界値やp値を参照するときは自由度6のカイ二乗分布を用いる。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section4/prc45.htm （2026-08-31確認）

正解は「ŷ=-1+2.5x」である。まずx̄=(1+2+3)/3=2、ȳ=(2+3+7)/3=4と求める。傾きの分子は(-1)(-2)+0×(-1)+1×3=5、分母は(-1)²+0²+1²=2なので、b₁=5/2=2.5である。切片はb₀=4-2.5×2=-1となり、最小二乗回帰直線はŷ=-1+2.5xである。ŷ=4+2.5xはȳを切片にした誤り、ŷ=-6+5xは傾きの分子5を分母2で割らなかった結果、ŷ=-0.5+2.5xは最初と最後の2点だけを結ぶ直線で中央の点を含む全3点の残差平方和を最小にしていない。求めた直線は平均点(x̄,ȳ)=(2,4)を通り、残差の合計も0になるため検算できる。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://itl.nist.gov/div898/handbook/pmd/section4/pmd431.htm （2026-08-31確認）

正解は「2.00」である。理論比率が各1/3なので、3カテゴリの期待度数はすべて100/3である。Aの差は40-100/3=20/3で、寄与は(20/3)²÷(100/3)=4/3。BとCはそれぞれ30-100/3=-10/3で、各寄与は(-10/3)²÷(100/3)=1/3となる。したがってχ²=4/3+1/3+1/3=6/3=2.00である。0.67はBとCの寄与だけを合計した値、1.33はAの寄与だけ、6.67はAの観測度数と期待度数の差の絶対値だけで、いずれも全カテゴリの寄与合計ではない。単一カテゴリ変数の観測比率が理論比率へ合うかを調べる適合度検定であり、二つのカテゴリ変数のクロス集計表を扱う独立性検定とは対象が異なる。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda35f.htm （2026-08-31確認）

正解は「(-3.0, 帰無仮説を棄却する)」である。傾きのt統計量は推定値をその標準誤差で割るので、t=-1.2÷0.4=-3.0となる。両側検定では符号を外した絶対値|t|=3.0を臨界値2.1と比較し、3.0>2.1なので、母傾きβ₁が0という帰無仮説を5%有意水準で棄却する。負の符号は推定された傾きの方向を表すが、両側検定の棄却判断では両端の棄却域を見るため絶対値を使う。-1.6は推定値から標準誤差を引いた値、-0.48は両者を掛けた値であり、いずれも標準誤差で基準化したt統計量ではない。統計的に0との差が示されても、因果関係や実務上の重要性まで自動的に証明されるわけではない。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://online.stat.psu.edu/stat501/Lesson02 （2026-08-31確認）

正解は「1.73」である。残差平方和は1²+(-1)²+2²+(-2)²+1²+(-1)²=1+1+4+4+1+1=12となる。標本サイズn=6、推定した係数は切片と傾きのp=2個なので、残差自由度はn-p=4である。したがって残差標準偏差は√(12/4)=√3≈1.732となる。1.41は残差平方和をn=6で割った√(12/6)=√2で、係数推定に使った自由度を差し引いていない。1.55は分母をn-1=5とした√(12/5)であり、本問のn-pと異なる。3.00は12/4で求めた残差分散の途中値で、平方根を取っていない。残差そのもの、残差平方和、自由度で割った値、その平方根を順に区別することが要点である。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pri/section6/pri619.htm （2026-08-31確認）

正解は「(1, -3, 1)」である。Rのlmオブジェクトでは、residualsは応答の観測値からfitted.valuesで示される当てはめ値を引いた値として読む。したがって、1件目は11-10=1、2件目は9-12=-3、3件目は16-15=1となる。(-1, 3, -1)は引く向きを逆にした値で、残差の符号がすべて反転している。(21, 21, 31)は観測値と当てはめ値を加算しており、差を表す残差ではない。(10, 12, 15)はfitted.valuesをそのまま写しただけで、観測値とのずれを計算していない。出力欄の名称だけで判断せず、観測値、当てはめ値、残差の関係を1行ずつ照合することが要点になる。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://www.stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/lm.html （2026-09-03確認）

正解は「interval = "prediction", level = 0.95」である。R公式predict.lm文書は、prediction intervalをnewdataの各ケースにおける単一の将来観測値の区間として説明している。本問は平均的な売上水準ではなく、来月の特定1店舗で実際に観測される売上を対象にするため、intervalにはprediction、levelには0.95を指定する。confidenceを指定すると、モデルが当てはめた平均応答の不確かさを表す区間になる。本問が求める単一の将来観測値の区間とは対象が異なる。type="terms"は各モデル項の寄与を返す指定であり区間の種類ではない。se.fit=FALSEだけでは区間計算を依頼しておらず、既定の点予測だけになる。予測対象が平均なのか個々の将来観測なのかを先に分けることが判断軸である。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/RHOME/library/stats/html/predict.lm.html （2026-09-03確認）

正解は「式へ各項を順に加えたときの残差平方和の減少として読む」である。R公式anova.lm文書では、単一のlmオブジェクトに対する表は逐次分散分析表で、モデル式へ各項を順に追加したときに残差平方和がどれだけ減少したかを各行に示す。したがってx2の行は、先にx1を含めたモデルへx2を追加した増分として解釈する。各項を単独で当てはめた全平方和ではなく、説明変数どうしが関連していれば項の順序を変えたときの配分も同一とは限らない。平方和はばらつきの量でありp値そのものでもない。F統計量とp値は、各行の平均平方を残差平均平方と比較した別の列として読む。表の種類、項の追加順、平方和と検定列を切り分ける必要がある。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/RHOME/library/stats/html/anova.lm.html （2026-09-03確認）

正解は「両モデルを同じ92件のデータで当てはめ直してから比較する」である。R公式anova.lm文書は、2つ以上のモデルの比較が妥当なのは同じデータへ当てはめられている場合であり、欠測値の除外によって使用行が異なると問題になると警告している。本問では追加変数の欠測により大きいモデルだけ8件少ないため、共通して利用できる92件を確定し、両モデルを同じ行で再推定してから入れ子モデルの差を評価する。標本数が異なるままF統計量だけを比べても、残差平方和の差がモデル項の追加だけによるものか、使用データの違いによるものか分離できない。自由度の数値だけを手で調整してもモデルの当てはめ値は直らず、根拠なく平均補完すると別の仮定と歪みを持ち込む。まず比較条件を揃えることが要点である。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/RHOME/library/stats/html/anova.lm.html （2026-09-03確認）

正解は「第3列はz値、第4列は標準正規分布に基づく両側p値」である。summary.glmでは、第3列は推定値を標準誤差で割った比で、分散パラメータを推定する場合はt比、既知または固定する場合はz比となる。本問は分散パラメータを1に固定しているため、z値と、それに対応する両側p値を読む。推定値と標準誤差は前の列に表示され、決定係数や残差平方和は第3列・第4列ではない。読むときは、まず分散パラメータが推定か固定かを確かめ、次に係数表の列順を照合する。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/help/summary.glm.html （2026-09-03確認）

正解は「2.5」である。単回帰の最小二乗推定では、傾きはxとyの偏差積和Sxyをxの偏差平方和Sxxで割って求める。100÷40=2.5であり、xが1単位増えるとyが平均的に2.5増える直線になる。0.4は割る向きを逆にした値、140は足した値、4000は掛けた値で、いずれも傾きの公式とは異なる。NIST公式ハンドブックも、直線モデルの最小二乗推定量として、傾きを偏差積和の和を偏差平方和で割る形で示している。 計算の手順は、先にSxxとSxyを確認し、傾き=Sxy÷Sxxの形に当てはめるだけである。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmd/section4/pmd431.htm （2026-10-10確認）

正解は「1」である。最小二乗法による回帰直線は点(xの平均, yの平均)を通り、切片はyの平均から傾きとxの平均の積を引いて求める。11-2.5×4=11-10=1となる。21は引かずに足した値、8.5は傾きに平均の差を掛けないで引いた値、-1は符号を取り違えた値である。NIST公式ハンドブックも、直線モデルの切片の推定量を、yの平均から傾きの推定値とxの平均の積を引く形で示している。 計算の手順は、先に点(4, 11)を通ることを確認し、切片=yの平均-傾き×xの平均の形に当てはめるだけである。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmd/section4/pmd431.htm （2026-10-10確認）

正解は「15」である。2つの変数が独立であると仮定したときのセルの期待度数は、行合計と列合計の積を総度数で割って求める。60×50÷200=15となる。行合計の割合30%と列合計の割合25%を掛けた7.5%に総度数200を掛けても同じ値になる。30は行合計の半分など根拠のない値、110は2つの合計を足した値、12000は割る前の積である。NIST公式ハンドブックも、独立のときの期待度数を行合計と列合計の積を総度数で割った値として示している。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf; https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section4/prc45.htm （2026-10-10確認）

正解は「5.0」である。係数表のt値は、推定値を標準誤差で割った値で、ここでは2.50÷0.50で5.0になる。1.25は掛け算の2.50×0.50、0.20は割る順序を逆にした0.50÷2.50、3.00は2.50と0.50を足した値であり、どれもt統計量の定義にはあたらない。係数の検定では、このt値を自由度が残差の自由度のt分布と比べ、対応する両側p値が係数表に並んで出力される。出力の各列がどの計算でつながっているかを知っておくと、一部の数字が隠れた出力でも残りの列から補える。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf （2026-10-17公式出題範囲表・R公式summary.lm/predict.lm/anova.lm/summary.glm文書照合）

正解は「x1の係数は0であるという帰無仮説を棄却し、x2の係数についてはその帰無仮説を棄却しない」である。係数表のp値は、その係数が0であるという帰無仮説のもとでの両側p値で、設定した有意水準と比べて判断する。x1は0.031が0.05より小さいので棄却し、x2は0.240が0.05より大きいので棄却しない。棄却しないことは、係数が0だと証明されたことを意味しない点にも注意する。p値は帰無仮説が正しい確率でも、x2が無関係である確率でもないため、24％という言い方はできない。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf （2026-10-17公式出題範囲表・R公式summary.lm/predict.lm/anova.lm/summary.glm文書照合）

正解は「3.5」である。残差は、実測値から当てはめ値を引いた値で、42-38.5により3.5になる。実測値が当てはめ値より大きいので符号は正になる。-3.5は引く順序を逆にした値、80.5は両者を足した値、0.917は38.5を42で割った比で、残差の定義にはあたらない。Rのlmが返す残差も応答値から当てはめ値を引いた値と定義されており、符号から、モデルが実測値を低く見積もったか高く見積もったかが読み取れる。残差が正なら実測値が予測値より上、負なら下にあることを意味するので、数字だけでなく符号の向きも一緒に確かめる習慣をつけておくとよい。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf （2026-10-17公式出題範囲表・R公式summary.lm/predict.lm/anova.lm/summary.glm文書照合）

正解は「0.60」である。決定係数は、全平方和のうち回帰で説明できた割合で、回帰平方和を回帰平方和と残差平方和の合計で割って求める。全平方和は60+40で100なので、60÷100により0.60になる。0.40は残差平方和の割合、1.50は回帰平方和を残差平方和で割った比、0.67は残差平方和を回帰平方和で割った比で、いずれも説明できた割合ではない。分散分析表の平方和の列から決定係数を逆算できると、出力の一部しか載っていない問題でも落ち着いて処理できる。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf （2026-10-17公式出題範囲表・R公式summary.lm/predict.lm/anova.lm/summary.glm文書照合）

正解は「10」である。分散分析表のF統計量は、回帰の平均平方を残差の平均平方で割った値で、90÷9により10になる。0.1は割る順序を逆にした値、81は平均平方の差、99は和であり、いずれもF統計量の定義にはあたらない。Rのanova.lmの出力でも、各行の平均平方を残差の平均平方と比べたF統計量とp値が並ぶ。F統計量が大きいほど、残差のばらつきに比べて回帰で説明できる部分が大きいことを意味する。出力には自由度も並ぶので、平均平方が平方和を自由度で割った値であることも合わせて確かめておくと、表の一部が隠れていても残りの数字から補える。

https://www.toukei-kentei.jp/hubfs/files/grade_range/grade2_hani_20181214.pdf （2026-10-17公式出題範囲表・R公式summary.lm/predict.lm/anova.lm/summary.glm文書照合）