統計検定2級 第6章 カテゴリカルデータと回帰分析 予想問題と解説

正解は「独立性の検定」である。クロス集計表に整理された2つのカテゴリ変数について、両者が互いに独立かどうかをカイ二乗検定の考え方で調べる検定を独立性の検定という。観測度数と、変数間に関連がないと仮定した場合の期待度数とのずれの大きさから判断する。「母平均の検定」は量的変数について母集団の平均が特定の値かどうかを調べる検定であり、対象がカテゴリ変数の関連ではなく量的変数の平均である点で設問とずれる。「単回帰分析」は1つの量的変数からもう1つの量的変数を直線で説明・予測する分析であり、カテゴリ変数どうしの独立性を調べる検定ではない。「標準化」は値を平均や標準偏差に基づいて変換する処理であり、検定ではなくデータの変換手法である。

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正解は「残差」である。単回帰分析では、説明変数の値から回帰直線によって予測値を求め、実際の観測値との差を残差という。残差の2乗和を最小にするように回帰直線を求める考え方が最小二乗法である。「自由度」は検定統計量やt分布・カイ二乗分布などで使われる、自由に値を取れるデータの数を表す量であり、観測値と予測値の差そのものを表す語ではない。「期待度数」はカイ二乗検定において、変数間に関連がないと仮定した場合に理論上見込まれる度数であり、回帰分析の予測値との差とは別の文脈の量である。「母比率」は母集団におけるある性質を持つ要素の割合であり、推定や検定の対象となる母数であって、回帰直線からのずれを表す語ではない。

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正解は「適合度検定」である。適合度検定は、1つのカテゴリ変数の観測度数を、あらかじめ想定した分布や比率から計算した期待度数と比較し、そのずれの大きさをカイ二乗統計量で評価する検定である。独立性の検定も同じカイ二乗検定の枠組みを使うが、対象は2つのカテゴリ変数をクロス集計表に並べたときの関連の有無であり、比較対象は「想定した分布」ではなく「行と列が独立だった場合に期待される度数」である。母平均の検定は量的変数の平均を検定対象とし、単回帰分析も量的変数間の直線的な関係を扱うため、どちらもカテゴリ変数の度数を比較する検定ではない。設問の「観測度数」「想定した分布や比率」という条件は、1変数の度数分布を期待度数と比較する適合度検定に直接対応する。

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正解は「回帰係数」である。回帰係数は、単回帰分析で求めた回帰直線の傾きにあたり、説明変数が1単位増えたときに目的変数が平均的にどれだけ変化するかを表す。自由度は検定統計量や確率分布(カイ二乗分布やt分布など)を特徴づける値であり、独立に変動できるデータの数を表す概念であって回帰直線の傾きではない。期待度数はカイ二乗検定で観測度数と比較するために計算する値であり、量的変数の変化量を表す係数ではない。母比率は母集団におけるカテゴリの比率を表す母数であり、説明変数と目的変数の関係を表す係数ではない。設問の「説明変数が1単位増えたときの目的変数の平均的な変化量」という条件は、回帰直線の傾きである回帰係数に直接対応する。

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正解は「多重共線性」である。多重共線性は、重回帰分析において説明変数同士の相関が強すぎるために、各説明変数が目的変数に与える影響を分離しにくくなり、回帰係数の推定が不安定になる問題である。標本誤差は標本を用いることで生じる母集団とのずれであり、説明変数間の相関とは無関係である。第1種の過誤は正しい帰無仮説を誤って棄却する検定上の誤りであり、回帰係数の推定の不安定さを説明する概念ではない。標準化は値を平均と標準偏差で変換する処理であり、それ自体は説明変数間の相関の強さを問題にする概念ではない。設問の「説明変数同士の相関が強すぎる」「回帰係数の推定が不安定」という条件は、多重共線性に直接対応する。

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正解は「期待度数」である。期待度数は、カイ二乗検定で仮説のもとで期待される度数であり、観測度数とのずれを評価するために使われる。標準誤差は推定量のばらつきを表す指標、回帰係数は回帰直線の傾きを表す指標、最頻値は最も多く現れる値であり、いずれも期待度数とは異なる概念であって、カイ二乗検定の考え方を理解するうえで混同しないよう注意したい。 カイ二乗検定では、実際に得た観測度数と、仮説のもとで想定する度数を比較する。推定量のばらつき、回帰の係数、分布の最頻値ではなく、比較基準となる期待度数を選ぶ。

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正解は「自由度」である。自由度は、検定や分布で、独立に変化できる情報の数を表す量である。カイ二乗検定では自由度に応じて参照する分布が変わる。母平均は母集団の平均、偏差値は標準化をもとにした尺度、相関係数は2変数の直線的関係を表す指標である。 判断では、母集団の代表値・標準化した尺度・変数間関係の指標ではなく、情報の制約下で自由に変化できる個数を探す。カイ二乗検定で参照分布にも関わる量は自由度である。値の大きさではなく、独立に動ける情報の個数を問う語だと捉える。

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正解は「最小二乗法」である。最小二乗法は、観測値と回帰直線による予測値との差である残差の2乗和が最小になるように回帰直線を求める方法である。無作為抽出は標本の選び方、ベイズの定理は確率の更新、独立性の検定はカテゴリ変数の関連を調べる検定である。 回帰直線の求め方は、最小化する量を確認する。標本抽出、確率更新、カテゴリ変数の独立性検定ではなく、残差を2乗して合計した値を最小化する最小二乗法を選ぶ。差・2乗・合計・最小化という四つの条件を順に照合する。

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正解は「決定係数」である。決定係数は、回帰モデルが目的変数のばらつきをどの程度説明しているかを表す指標である。有意水準は仮説検定で棄却判断の基準となる確率、変動係数は相対的なばらつきを表す指標、余事象はある事象が起こらない事象であり、いずれも決定係数とは異なる概念であって、回帰分析の指標と混同しないよう注意したい。 名称に係数が付く指標でも役割を分ける。回帰係数は説明変数の変化に対する目的変数の変化量、残差は観測値と予測値の差である。説明済み変動が全変動に占める割合を見る指標は決定係数である。

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正解は「重回帰分析」である。説明変数が複数ある回帰分析を重回帰分析という。単回帰分析は説明変数が1つの回帰分析である。適合度検定は観測度数の分布への当てはまりを見る検定、母比率の検定は母集団の比率に関する検定であり、複数の説明変数を扱う回帰分析ではない。 分析法は変数の数と目的で区別する。説明変数が一つなら単回帰、複数なら重回帰である。適合度検定はカテゴリの観測度数と期待度数、母比率の検定は母集団の割合に関する仮説を扱うため、回帰分析ではない。

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正解は「観測された度数分布が、想定した分布や比率にどの程度合っているか」である。適合度検定はカイ二乗検定の一種で、実際に観測された度数分布と、あらかじめ想定した分布や比率との当てはまりを調べる。設問では、入力が度数、比較対象が想定した分布や比率、判断内容が当てはまりである選択肢を探す。2つの量的変数と回帰直線の傾きは単回帰分析、標本平均の信頼区間の幅は区間推定の対象である。無作為抽出の実施時間は調査手続きの所要時間であり、観測度数と想定度数の比較ではない。

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正解は「独立性の検定は2つのカテゴリ変数の関連、適合度検定は観測分布の当てはまりを調べる」である。独立性の検定は、クロス集計表にまとめた2つのカテゴリ変数が独立か、関連があるかを調べる。適合度検定は、観測された度数分布が想定した分布や比率に合っているかを調べる。両者はカイ二乗検定として期待度数や自由度を扱うため、手法名だけで区別せず、変数の数と比較したい対象を見る。母平均と回帰係数を割り当てる説明、期待度数と自由度を片方だけで使わないとする説明、単回帰分析の別名とする説明は誤りである。

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正解は「説明変数が1単位増えたとき、目的変数の予測値がどの程度変化するかを表す」である。単回帰分析の回帰係数は回帰直線の傾きに対応し、説明変数の変化を入力、目的変数の予測値の変化を結果として読む。問題文では、どちらの変数が1単位増えるのか、何の値がどの程度変化するのかを区別することが重要である。自由度を0にする値、母比率の信頼係数、標本調査の非標本誤差は、いずれも説明変数と目的変数の変化関係を表していない。回帰係数を読む選択肢は、変化の向きと対象の組合せで選ぶ。

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正解は「説明変数どうしの相関が強いと、回帰係数の解釈や推定が不安定になりやすいから」である。多重共線性で確認する相関は、目的変数との相関ではなく、重回帰分析に同時に入れる説明変数どうしの相関である。その相関が強いと、各説明変数に対応する回帰係数の推定が不安定になり、個別の効果を解釈しにくくなる。問題文では、原因が説明変数間の強い相関、影響先が回帰係数の推定と解釈である組合せを探す。決定係数が必ず1になること、標本平均を計算できないこと、期待度数を使えないことは多重共線性の説明ではない。

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正解は「回帰モデルがデータの傾向を十分に表しているか、予測値とのずれを確認するため」である。残差は観測値と回帰モデルによる予測値との差である。その大きさや並び方を見ると、モデルの予測が実際のデータからどのようにずれているか、データの傾向を十分に表せているかを確認できる。判断では、比較する2つの値が観測値と予測値であり、評価対象が回帰モデルであることを押さえる。母集団から標本を選ぶ無作為抽出、確率分布の期待値、四分位数と標準正規分布は、観測値と予測値の差を点検する目的ではない。

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正解は「2つのカテゴリ変数の組み合わせごとの度数を整理するため」である。クロス集計表は、2つのカテゴリ変数の組み合わせごとの度数を整理する表であり、独立性の検定や適合度検定などでも用いられる。2つの量的変数の関係を見るには散布図を用い、母平均の信頼区間は推定の文脈で使う概念である。標準正規分布を二項分布に変える操作もクロス集計表の目的とは無関係である。 変数の尺度と表の中身を見る。散布図は二つの量的変数の点を描く。信頼区間は母数の区間推定、分布の変換はクロス集計の目的ではない。行と列にカテゴリを置き各セルへ度数を入れるのがクロス集計表である。

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正解は「観測された度数と、仮説のもとで期待される度数のずれを評価するため」である。カイ二乗検定では、実際に得た観測度数を、仮説が成り立つなら見込まれる期待度数と比較し、そのずれから適合度や独立性を判断する。回帰係数は説明変数の影響、標準化は値の尺度をそろえる操作、相関係数は二変数の関係、四分位数はデータの位置を表す。期待度数は別の統計量へ変換するためではなく、観測結果のずれを評価する基準として使う。実測値と仮説上の基準値という役割を分けて読む。

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正解は「参照するカイ二乗分布が自由度によって変わるため」である。独立性の検定では、検定統計量をカイ二乗分布と照らして判断するが、参照するカイ二乗分布は自由度によって形が変わるため自由度が必要になる。自由度が大きいほど相関係数が1になるわけではなく、回帰直線の切片を表す語でもない。また自由度はt検定など母平均・母比率の検定でも使われる概念である。 検定統計量だけでなく参照分布の形を決めるパラメータが必要である。クロス集計表では自由度は通常（行数−1）×（列数−1）で、これに応じてカイ二乗分布と臨界値が変わる。相関係数や回帰切片を表す数ではない。

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正解は「回帰分析で説明できるばらつきの割合を見る指標だが、因果関係を直接証明するものではない」である。決定係数は、回帰分析で目的とする変数のばらつきがモデルでどの程度説明されるかを見る指標である。ただし、それだけで因果関係を直接証明するものではない。決定係数が大きくても母平均の検定が不要になるわけではなく、クロス集計表の期待度数そのものでもなく、二項分布の成功確率だけを表す量でもない。決定係数の値の大小と、母平均の検定・期待度数・成功確率という別の指標を同一視していないかで見分ける。

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正解は「単回帰分析は説明変数が1つ、重回帰分析は説明変数が複数ある回帰分析である」である。単回帰分析は説明変数が1つの回帰分析であり、重回帰分析は説明変数が複数ある回帰分析である。どちらも回帰係数や残差を扱う点は共通しており、単回帰分析では残差を使わない、重回帰分析では回帰係数を使わないという説明は誤りである。カテゴリ変数の期待度数を扱うのはカイ二乗検定の一種である適合度検定であり、単回帰分析・重回帰分析とは対象が異なる。 選択肢ごとの差は次のように整理できる。「単回帰分析はカテゴリ変数だけ、重回帰分析は期待度数だけを扱う」は誤答側で、誤答。単回帰分析と重回帰分析の違いは説明変数の数であり、カテゴリ変数と期待度数をそれぞれ扱うという区別ではない。期待度数は回帰分析の違いを示す条件でもない。「単回帰分析では残差を使わず、重回帰分析では回帰係数を使わない」は誤答側で、誤答。単回帰分析でも残差を扱い、重回帰分析でも回帰係数を扱う。使う要素の有無ではなく、説明変数が1つか複数かで区別する。「単回帰分析と重回帰分析はどちらも適合度検定の別名である」は誤答側で、誤答。単回帰分析と重回帰分析はいずれも回帰分析であり、適合度検定の別名ではない。分析の目的と扱う量が異なり、説明変数の数という区別も示していない。「単回帰分析は説明変数が1つ、重回帰分析は説明変数が複数ある回帰分析である」は正解側で、正解。説明変数が1つなら単回帰分析、複数なら重回帰分析である。両者の違いを説明変数の数で正しく区別しており、回帰係数や残差の有無では分けていない。

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正解は「観測された度数分布が、想定した分布や比率に従っている」である。適合度検定では、観測された度数分布が想定した分布や比率に従っている、という形の帰無仮説を立てて検定を行う。2つの量的変数に因果があるかどうかは相関係数などで扱う別の問題であり、適合度検定の帰無仮説ではない。標本平均が母平均と必ず一致するという主張は誤った前提であり、回帰係数がすべて標準偏差と同じ値になる関係も一般には成り立たない。 適合度検定は一つのカテゴリ変数の観測度数と、帰無仮説の下での期待度数を比較する。量的変数の因果、標本平均と母平均の恒等、回帰係数と標準偏差の一致を検証する手続きではない。

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正解は「2つのカテゴリ変数に関連があるかを、観測度数と期待度数のずれから調べたい場面」である。独立性の検定では、クロス集計表における2つのカテゴリ変数に関連があるかを、観測度数と期待度数のずれから調べる。1つの量的変数の中央値を求めることや、母平均の信頼区間を作ること、正規分布を標準正規分布へ標準化することは、いずれもカテゴリ変数同士の関連を調べる独立性の検定とは異なる目的の手法である。独立性の検定が対象とするのは2つのカテゴリ変数の関連であり、中央値・信頼区間・標準化という別の章の手法に置き換えていないかで見分ける。

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正解は「有意な結果でも、どのカテゴリがずれに寄与したかは期待度数や表の構造も見て考える」である。カイ二乗検定で有意な結果が得られても、それだけで因果関係を断定できない。どのカテゴリがずれに寄与したかは、期待度数やクロス集計表の構造を見て考える必要がある。有意であっても因果関係が必ず証明されるわけではなく、自由度が必ず0になるわけでもなく、回帰係数が必ず1になるわけでもない。カイ二乗検定の有意性が示すのはカテゴリ変数どうしの関連であり、因果関係・自由度・回帰係数という別の概念を「必ず」で決めつけていないかで見分ける。

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正解は「残差の2乗和」である。最小二乗法は、観測値と回帰直線による予測値との差である残差の2乗和を最小にするように回帰直線を求める方法である。母比率は母集団における比率を表す値、余事象はある事象が起こらないことを表す事象、自由度はt分布やカイ二乗分布など検定統計量の分布の形を定める値であり、いずれも最小二乗法が最小化する対象ではない。 最小二乗法は各観測の残差を二乗し、その総和が最小になる回帰係数を選ぶ。母比率は推定対象の母数、余事象は確率上の集合、自由度は参照分布などを決める情報量であり、回帰直線を当てはめる目的関数ではない。

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正解は「重回帰分析で説明変数どうしの相関が強い状況」である。多重共線性は、重回帰分析において説明変数どうしの相関が強いときに、各係数の推定が不安定になり解釈が難しくなる問題である。単回帰分析は説明変数が1つのため多重共線性は生じない。クロス集計表の期待度数の計算や正規分布の標準化は、説明変数間の関係とは別の文脈の話である。 多重共線性は目的変数との相関ではなく、説明変数相互の強い線形関係が問題になる。説明変数が一つの単回帰ではこの意味の共線性は生じず、期待度数の計算や正規変数の標準化も回帰係数の不安定性とは別である。

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正解は「カイ二乗検定の近似の使い方に注意し、表の構造を確認する」である。カイ二乗検定では観測度数と期待度数のずれを用いて判断するが、期待度数が小さいセルが多い場合は近似の使い方や表の構造に注意する必要がある。期待度数が小さいほど因果関係が必ず証明されるという説明、回帰係数が必ず1になるという説明、標準正規分布が存在しなくなるという説明は、いずれも根拠のない誤りである。 カイ二乗検定は各セルの観測度数と期待度数の差を近似分布で評価するため、期待度数が小さいセルが多いと近似の妥当性を点検する必要がある。因果、回帰係数、標準正規分布の存在とは関係せず、カテゴリ統合など表構造も検討する。

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正解は「カイ二乗検定などで参照する分布を決める場面」である。自由度は、カイ二乗検定などで参照する分布を決めるために使われる量である。独立に変化できる情報の数に関わり、同じ検定統計量でも自由度によって判断が変わる。平均と中央値の一致、相関係数、残差の消去とは別の概念である。 自由度は制約の下で独立に変動できる情報の数に対応し、t・カイ二乗・F分布などの形や臨界値を決める。代表値の一致、相関係数の固定、回帰残差の消去を行う操作ではない。独立性検定の分割表では通常、行数と列数から自由度を求めて参照分布を選ぶ。 比較対象には「平均を必ず中央値に一致させる場面」、「相関係数を必ず1にする場面」、「回帰直線の残差を必ず消す場面」も含まれる。

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正解は「2つの量的変数の関係を直線で近似し、予測値や残差を考える」である。回帰直線は、2つの量的変数の関係を直線で近似し、予測値や残差を考えるために使う。散布図で見える傾向を数式として表し、観測値との差を残差として評価できる。期待度数、母比率の検定、分布の変換とは別の目的である。 回帰直線は散布図上の傾向を切片と傾きで表し、説明変数から目的変数の予測値を求め、観測値との差を残差として評価する。カテゴリ度数、母比率検定の仮説、確率分布の変換は別の統計手続きである。 比較対象には「2つのカテゴリ変数の期待度数だけを表す」、「母比率の検定で帰無仮説を不要にする」、「正規分布を必ず一様分布に変える」も含まれる。

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正解は「説明力の指標だけでなく、説明変数どうしの相関や回帰係数の解釈も確認する」である。決定係数は回帰分析の説明力を表す指標だが、それだけでモデルの妥当性や因果関係を判断できない。重回帰分析では説明変数どうしの相関である多重共線性や、回帰係数の解釈もあわせて確認する必要がある。決定係数が大きくても多重共線性の有無は保証されず、因果関係が証明されるわけでもなく、決定係数自体は期待度数とは別の指標である。決定係数の値だけでモデルの良し悪しを判断せず、多重共線性や回帰係数の解釈もあわせて確認する姿勢が重回帰分析では求められる。

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正解は「回帰直線で関係を十分に表せていない可能性を考える」である。残差は観測値と回帰直線による予測値との差であり、特定の傾向が見える場合は、回帰直線でデータの関係を十分に表せていない可能性を考える必要がある。残差があるからといって母平均の検定が必ず不要になるわけではない。残差はカイ二乗検定などで用いる自由度そのものではなく、残差があっても標準正規分布を用いた考え方が使えなくなるわけでもない。 適切な線形モデルなら残差は0付近へランダムに散らばることが期待される。曲線なら非線形関係、扇形なら分散不均一など、直線モデルの仮定や変数選択が不十分な可能性を示す。残差の存在自体は検定や正規分布を無効にせず、自由度そのものでもない。

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正解は「観測度数と期待度数のずれをカイ二乗検定の枠組みで評価する」である。適合度検定と独立性の検定はいずれも、観測度数と期待度数のずれをカイ二乗検定の枠組みで評価する点が共通している。適合度検定は1つのカテゴリ変数が想定した分布に従うかを調べ、独立性の検定は2つのカテゴリ変数の関連を調べる点で対象は異なるが、評価の考え方は共通している。回帰直線の残差最小化、標準正規分布への標準化、母比率を1に固定することとは目的が異なる。 両検定は対象が1変数の分布か2変数の関連かで異なる一方、観測度数と帰無仮説から得る期待度数の差を集計する点を共有する。 両検定は対象が1変数の分布か2変数の関連かで異なる一方、観測度数と帰無仮説から得る期待度数の差を集計する点を共有する。

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正解は「説明変数の尺度や標準化の有無によって解釈が変わることがある」である。回帰係数は説明変数が1単位変化したときに目的変数の予測値がどれだけ変化するかを表すため、説明変数をどのような尺度で測っているか、また標準化しているかどうかによって、同じ大きさの回帰係数でも意味する内容が変わることがある。回帰係数は相関係数と計算方法も表す内容も異なる指標であり、常に同じ値になるわけではない。回帰係数の値が大きいことは説明変数と目的変数の関係の強さを示唆するが、それだけで両者の間に因果関係があると必ず証明されるわけではない。期待度数はカイ二乗検定で使われる別の概念であり、回帰係数が表すものではない。

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正解は「期待度数」である。カイ二乗検定では、実際に観測された度数と、仮説のもとで期待される度数である期待度数を比較し、そのずれの大きさから判断する。標準誤差は標本平均などの推定量が標本ごとにどの程度ばらつくかを表す指標であり、期待度数とは異なる。決定係数と回帰係数はいずれも回帰分析で用いる指標であり、カイ二乗検定で使う期待度数とは役割が異なる。 実測した観測度数と対になる名称を問う定義問題であり、帰無仮説が成り立つとしたとき各区分に見込まれる回数を期待度数と呼ぶ。 実測した観測度数と対になる名称を問う定義問題であり、帰無仮説が成り立つとしたとき各区分に見込まれる回数を期待度数と呼ぶ。

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正解は「9」である。回帰直線y=1+2xへx=4を代入すると、y=1+2×4=9となる。切片1はxが0のときの予測値、回帰係数2はxが1増えるごとにyの予測値が2増えることを表す。8は切片1を加えず2×4だけを計算した値である。7は観測データ中のx=3に対応する値をそのまま選んでおり、x=4への外挿を行っていない。6は回帰係数2へx=3を掛けた値で、切片も指定されたxも反映していない。式の各項の役割を確認してから代入することが重要である。

https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmd/section1/pmd141.htm

この事例では「二つのカテゴリ変数の度数を組合せ別に整理するか」を確認すると、2つのカテゴリ変数の組み合わせごとの度数を整理するために絞れる。正解は「2つのカテゴリ変数の組み合わせごとの度数を整理するため」である。クロス集計表は、2つのカテゴリ変数の組み合わせごとの度数を整理する表であり、独立性の検定や適合度検定などでも用いられる。2つの量的変数の関係を見るには散布図を用い、母平均の信頼区間は推定の文脈で使う概念である。標準正規分布を二項分布に変える操作もクロス集計表の目的とは無関係である。 変数の尺度と表の中身を見る。散布図は二つの量的変数の点を描く。信頼区間は母数の区間推定、分布の変換はクロス集計の目的ではない。行と列にカテゴリを置き各セルへ度数を入れるのがクロス集計表である。

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この事例では「仮説のもとで見込む度数との差を評価するか」を確認すると、観測された度数と、仮説のもとで期待される度数のずれを評価するために絞れる。正解は「観測された度数と、仮説のもとで期待される度数のずれを評価するため」である。カイ二乗検定では、実際に得た観測度数を、仮説が成り立つなら見込まれる期待度数と比較し、そのずれから適合度や独立性を判断する。回帰係数は説明変数の影響、標準化は値の尺度をそろえる操作、相関係数は二変数の関係、四分位数はデータの位置を表す。期待度数は別の統計量へ変換するためではなく、観測結果のずれを評価する基準として使う。実測値と仮説上の基準値という役割を分けて読む。

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この事例では「説明できるばらつきの割合は因果を直接示さないか」を確認すると、回帰分析で説明できるばらつきの割合を見る指標だが、因果関係を直接証明するものではないに絞れる。正解は「回帰分析で説明できるばらつきの割合を見る指標だが、因果関係を直接証明するものではない」である。決定係数は、回帰分析で目的とする変数のばらつきがモデルでどの程度説明されるかを見る指標である。ただし、それだけで因果関係を直接証明するものではない。決定係数が大きくても母平均の検定が不要になるわけではなく、クロス集計表の期待度数そのものでもなく、二項分布の成功確率だけを表す量でもない。決定係数の値の大小と、母平均の検定・期待度数・成功確率という別の指標を同一視していないかで見分ける。

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この事例では「説明変数が一つか複数かで単回帰と重回帰を分けるか」を確認すると、単回帰分析は説明変数が1つ、重回帰分析は説明変数が複数ある回帰分析であるに絞れる。正解は「単回帰分析は説明変数が1つ、重回帰分析は説明変数が複数ある回帰分析である」である。単回帰分析は説明変数が1つの回帰分析であり、重回帰分析は説明変数が複数ある回帰分析である。どちらも回帰係数や残差を扱う点は共通しており、単回帰分析では残差を使わない、重回帰分析では回帰係数を使わないという説明は誤りである。カテゴリ変数の期待度数を扱うのはカイ二乗検定の一種である適合度検定であり、単回帰分析・重回帰分析とは対象が異なる。 選択肢ごとの差は次のように整理できる。「単回帰分析はカテゴリ変数だけ、重回帰分析は期待度数だけを扱う」は誤答側で、誤答。単回帰分析と重回帰分析の違いは説明変数の数であり、カテゴリ変数と期待度数をそれぞれ扱うという区別ではない。期待度数は回帰分析の違いを示す条件でもない。「単回帰分析では残差を使わず、重回帰分析では回帰係数を使わない」は誤答側で、誤答。単回帰分析でも残差を扱い、重回帰分析でも回帰係数を扱う。使う要素の有無ではなく、説明変数が1つか複数かで区別する。「単回帰分析と重回帰分析はどちらも適合度検定の別名である」は誤答側で、誤答。単回帰分析と重回帰分析はいずれも回帰分析であり、適合度検定の別名ではない。分析の目的と扱う量が異なり、説明変数の数という区別も示していない。「単回帰分析は説明変数が1つ、重回帰分析は説明変数が複数ある回帰分析である」は正解側で、正解。説明変数が1つなら単回帰分析、複数なら重回帰分析である。両者の違いを説明変数の数で正しく区別しており、回帰係数や残差の有無では分けていない。

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この事例では「観測度数分布が想定分布に適合するか」を確認すると、観測された度数分布が、想定した分布や比率に従っているに絞れる。正解は「観測された度数分布が、想定した分布や比率に従っている」である。適合度検定では、観測された度数分布が想定した分布や比率に従っている、という形の帰無仮説を立てて検定を行う。2つの量的変数に因果があるかどうかは相関係数などで扱う別の問題であり、適合度検定の帰無仮説ではない。標本平均が母平均と必ず一致するという主張は誤った前提であり、回帰係数がすべて標準偏差と同じ値になる関係も一般には成り立たない。 適合度検定は一つのカテゴリ変数の観測度数と、帰無仮説の下での期待度数を比較する。量的変数の因果、標本平均と母平均の恒等、回帰係数と標準偏差の一致を検証する手続きではない。

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この事例では「二カテゴリ変数の関連を期待度数とのずれで調べるか」を確認すると、2つのカテゴリ変数に関連があるかを、観測度数と期待度数のずれから調べたい場面に絞れる。正解は「2つのカテゴリ変数に関連があるかを、観測度数と期待度数のずれから調べたい場面」である。独立性の検定では、クロス集計表における2つのカテゴリ変数に関連があるかを、観測度数と期待度数のずれから調べる。1つの量的変数の中央値を求めることや、母平均の信頼区間を作ること、正規分布を標準正規分布へ標準化することは、いずれもカテゴリ変数同士の関連を調べる独立性の検定とは異なる目的の手法である。独立性の検定が対象とするのは2つのカテゴリ変数の関連であり、中央値・信頼区間・標準化という別の章の手法に置き換えていないかで見分ける。

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この事例では「各セルの期待度数とのずれと表の構造か」を確認すると、有意な結果でも、どのカテゴリがずれに寄与したかは期待度数や表の構造も見て考えるに絞れる。正解は「有意な結果でも、どのカテゴリがずれに寄与したかは期待度数や表の構造も見て考える」である。カイ二乗検定で有意な結果が得られても、それだけで因果関係を断定できない。どのカテゴリがずれに寄与したかは、期待度数やクロス集計表の構造を見て考える必要がある。有意であっても因果関係が必ず証明されるわけではなく、自由度が必ず0になるわけでもなく、回帰係数が必ず1になるわけでもない。カイ二乗検定の有意性が示すのはカテゴリ変数どうしの関連であり、因果関係・自由度・回帰係数という別の概念を「必ず」で決めつけていないかで見分ける。

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この事例では「各残差を二乗して合計した値か」を確認すると、残差の2乗和に絞れる。正解は「残差の2乗和」である。最小二乗法は、観測値と回帰直線による予測値との差である残差の2乗和を最小にするように回帰直線を求める方法である。母比率は母集団における比率を表す値、余事象はある事象が起こらないことを表す事象、自由度はt分布やカイ二乗分布など検定統計量の分布の形を定める値であり、いずれも最小二乗法が最小化する対象ではない。 最小二乗法は各観測の残差を二乗し、その総和が最小になる回帰係数を選ぶ。母比率は推定対象の母数、余事象は確率上の集合、自由度は参照分布などを決める情報量であり、回帰直線を当てはめる目的関数ではない。

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