統計検定2級 第3章 確率分布 予想問題（2/2）

この事例では「二値一試行と発生回数を区別するか」を確認すると、「ベルヌーイ分布は1回の成功・失敗、ポアソン分布は一定時間や領域内の発生回数を扱う」という説明が正しいと分かる。正解は「ベルヌーイ分布は1回の成功・失敗、ポアソン分布は一定時間や領域内の発生回数を扱う」である。ベルヌーイ分布は1回の合否のような試行における成功・失敗を扱う離散型確率分布であり、ポアソン分布は一定時間内の問い合わせ件数のような発生回数を扱う離散型確率分布である。ベルヌーイ分布を連続型分布や標準正規分布とする考え方、両分布を相関係数や回帰係数の別名とする考え方、どちらも母平均の信頼区間だけを表すとする考え方は、いずれも定義と異なり誤りである。両分布とも「とびとびの値」を扱う点で共通する離散型確率分布である。

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この事例では「とびとびの値をとる離散型か」を確認すると、「成功回数や発生回数のように、とびとびの値をとるもの」という説明が正しいと分かる。正解は「成功回数や発生回数のように、とびとびの値をとるもの」である。離散型確率分布は、ベルヌーイ分布や二項分布、ポアソン分布のように、一時間の来客数のようなとびとびの値をとる確率変数を扱う。来客数が区間内のすべての実数値をとると考える説明は連続型確率分布の特徴であり、回帰直線の図や箱ひげ図のひげで来客数を説明する考え方も、いずれも離散型確率分布の説明ではない。 離散型か連続型かは取り得る値の集合で区別する。0人、1人、2人のように可算な値を取るのが離散型で、区間内の任意の実数を取るのは連続型である。回帰直線や箱ひげ図の部品は確率変数の値域ではない。

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この事例では「中心と尺度を示す平均と標準偏差か」を確認すると、「平均と標準偏差」が当てはまると分かる。正解は「平均と標準偏差」である。正規分布の値を標準化して標準正規分布として扱うときは、平均と標準偏差を使う。この考え方は偏差値の算出や変動係数の考え方にも通じる。テスト得点の中央値と最頻値は1変数データの代表値、期待度数と自由度はカイ二乗検定、回帰係数と残差は単回帰分析で使う量であり、いずれも標準化の操作とは異なる文脈で使われる。 正規変数Xを標準正規変数Zへ変換する式はZ=(X−平均)/標準偏差である。中央値・最頻値は代表値、期待度数・自由度はカイ二乗検定、回帰係数・残差は回帰分析で使うため、標準化の中心化と尺度調整には用いない。

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この事例では「区間内で一定の密度を持つ連続一様分布か」を確認すると、「区間内の値が同じように起こりやすいと考える連続型確率分布である」という説明が正しいと分かる。正解は「区間内の値が同じように起こりやすいと考える連続型確率分布である」である。一様分布は、指定区間内の到着時刻のように区間内の値が同じように起こりやすいと考える連続型確率分布であり、確率密度関数が一定の値をとる。到着時刻を1回の試行の成功・失敗として扱う考え方、クロス集計表の独立性として扱う考え方、説明変数どうしの相関として扱う考え方は、いずれも一様分布の説明ではない。確率密度関数の値がどの位置でも一定という性質が、一様分布ならではの特徴である。

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この事例では「区間の下の面積として確率を求めるか」を確認すると、「連続型確率分布では、区間に対応する面積が確率を表すため」という説明が正しいと分かる。正解は「連続型確率分布では、区間に対応する面積が確率を表すため」である。連続型確率分布では、確率密度関数の高さそのものではなく、曲線の下の面積が区間の確率に対応するため、一点の密度値をそのまま確率として読むことはできない。正規分布や一様分布、指数分布などの期待値は連続型確率分布でも定義でき、定義できないというのは誤りである。確率密度関数はクロス集計表で表す概念ではなく、相関係数の符号だけを表す量でもない。 確率密度は一点付近への集中度を表し、その高さ自体は無次元の確率とは限らない。連続型では一点を取る確率は0で、区間の曲線下面積が確率となる。期待値は密度から定義でき、クロス集計や相関係数とは別概念である。

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この事例では「各試行が後続試行の成功確率を変えないか」を確認すると、「各試行の結果が他の試行の成功確率を変えないと考えるため」という説明が正しいと分かる。正解は「各試行の結果が他の試行の成功確率を変えないと考えるため」である。二項分布では、成功または失敗の2通りをとる試行を一定回数行い、各試行の結果が他の試行の成功確率を変えない、つまり独立であることを前提に成功回数を考える。二項分布は離散型確率分布であり、正規分布のような連続型確率分布とは前提が異なる。また試行の結果を扱う際にクロス集計表を用いる必要はなく、各試行が必ず正規分布に従うという前提も置かない。 二項分布は一定回数nの試行で、各回が成功・失敗の二値、成功確率pが一定、試行が独立という条件から成功回数を扱う。各結果が次回のpを変えるなら同じ二項モデルで数えられない。連続分布・クロス表・正規分布は独立性の理由ではない。

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この事例では「一定時間内の平均的な発生回数か」を確認すると、「一定時間や領域内で平均的にどの程度発生するかを表す値」という説明が正しいと分かる。正解は「一定時間や領域内で平均的にどの程度発生するかを表す値」である。ポアソン分布では、一定時間や領域内の発生回数を扱う離散型確率分布であり、期待値はその発生回数が平均的にどの程度になるかを表す値であって、発生回数が必ず0になることを意味しない。確率密度関数は連続型確率分布で使う概念、決定係数は回帰分析の説明力を表す指標であり、いずれも期待値の解釈とは異なる。 ポアソン分布の期待値は、1回の観測で必ず得る回数ではなく、同じ時間・領域で観測を繰り返したときの発生回数の長期平均として解釈する。 ポアソン分布の期待値は、1回の観測で必ず得る回数ではなく、同じ時間・領域で観測を繰り返したときの発生回数の長期平均として解釈する。

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この事例では「中心位置と広がりの両方が変わるか」を確認すると、「分布の中心位置や広がりが変わる」が当てはまると分かる。正解は「分布の中心位置や広がりが変わる」である。正規分布では、平均が中心位置、分散が広がりに関係し、これらが変わると分布の位置や形の広がりが変わる。標準化して標準正規分布として扱う際にもこの平均と分散を用いる。クロス集計表の自由度やベルヌーイ分布の成功回数は別の概念であり、正規分布の平均や分散を変えても帰無仮説が不要になるわけではない。 正規分布では平均が横軸上の中心を、分散が中心からの散らばりを決めるため、片方だけでなく位置と広がりの両方を読む。 正規分布では平均が横軸上の中心を、分散が中心からの散らばりを決めるため、片方だけでなく位置と広がりの両方を読む。

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この事例では「連続値の区間と離散的な回数を区別するか」を確認すると、「連続型は区間内の連続的な値、離散型は回数のようなとびとびの値を扱う」という説明が正しいと分かる。正解は「連続型は区間内の連続的な値、離散型は回数のようなとびとびの値を扱う」である。連続型確率分布は区間内の連続的な値を扱い、離散型確率分布は回数のようなとびとびの値を扱う。どちらの分布でも期待値や分散を考えることができ、片方だけが期待値や分散を考えないわけではない。連続型・離散型のいずれもクロス集計表や回帰直線で必ず表されるわけではなく、相関係数だけを表すものでもない。値の取り方が連続的かとびとびかという違いは、期待値や分散の有無ではなく、確率変数がとりうる値の性質に関わる区別である。

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この事例では「連続の待ち時間と離散の発生回数か」を確認すると、「指数分布は連続型確率分布、ポアソン分布は発生回数を扱う離散型確率分布である」という説明が正しいと分かる。正解は「指数分布は連続型確率分布、ポアソン分布は発生回数を扱う離散型確率分布である」である。指数分布は確率密度関数で表される連続型確率分布であり、ポアソン分布は一定時間や領域内の発生回数を扱う離散型確率分布である。どちらも相関係数の別名ではなく、母平均の検定や箱ひげ図を表す語でもない。また標本誤差・非標本誤差はデータ収集の際に生じる誤差を指す語であり、確率分布の名称とは異なる。指数分布とポアソン分布を、連続型か離散型かという分布の型で区別しているかで見分ける。

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この事例では「平均と標準偏差を使って標準化するか」を確認すると、「正規分布の値を平均と標準偏差で変換し、標準正規分布として扱う」という説明が正しいと分かる。正解は「正規分布の値を平均と標準偏差で変換し、標準正規分布として扱う」である。正規分布に従う値は、平均を引いて標準偏差で割る標準化を行うことで、平均0・分散1の標準正規分布として扱える。二項分布やポアソン分布は離散型確率分布であり、連続型確率分布である正規分布の標準化とは対象が異なる。クロス集計表の自由度はカイ二乗検定で使う値であり、標準化の変換とは無関係である。回帰直線の残差は回帰分析における予測値と実測値の差であり、標準化によって必ず0になるものではない。標準化の対象が連続型確率分布である正規分布であり、変換に使うのが平均と標準偏差であるという条件を先に固定し、離散型確率分布・自由度・残差という別の章の用語と混同していないかを確認する。

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正解は「幾何分布」である。判断の決め手は、成功確率が一定の独立な試行を、最初の成功が得られるまで続け、その試行回数を数える点にある。超幾何分布は有限母集団から一定個数を非復元で選んだときの標識要素数を扱う。二項分布は試行回数を先に固定して成功回数を数える。ポアソン分布は一定の範囲内で起きる事象数を扱う。負の二項分布で成功回数をk=1とした場合は幾何分布に一致するが、最初の成功までを表す特化した名称として幾何分布を選ぶ。失敗回数で定義する流儀では、試行回数から1を引く点にも注意する。

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正解は「負の二項分布」である。判断軸は、成功確率が一定の独立な試行を、指定された3回目の成功が得られるまで続けることだ。負の二項分布は第k成功までの失敗回数または試行回数を扱い、ここではk=3である。幾何分布は負の二項分布のk=1に当たるため、最初の成功だけを扱う。超幾何分布は有限母集団から一定個数を非復元で選んだ標本中の標識要素数を扱う。ポアソン分布は一定の範囲内で起こる事象数を扱う。試行回数を固定せず、複数回目の成功を停止条件にしている点から選ぶ。

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正解は「超幾何分布」である。有限母集団に標識の有無があり、標本サイズを先に決めて一定個数を非復元で選び、その中の標識要素数を数えることが決め手である。二項分布は各試行を独立に扱う設定で用いるため、取り出した要素を戻さず構成が変わる抽出とは異なる。幾何分布は最初の成功までの試行回数、負の二項分布は第k成功までの試行回数を扱う。分布選択では、成功数を数えるだけでなく、母集団が有限か、標本サイズが固定か、抽出が復元か非復元かを確認する。非復元なので、抽出のたびに箱の残りの構成が変わる。

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正解は「幾何分布に一致する」である。負の二項分布は、成功確率が一定の独立な試行で、第k成功が得られるまでの失敗回数または試行回数を扱う。k=1なら停止条件は最初の成功となるため、幾何分布に一致する。二項分布は試行回数を先に固定して成功回数を数える。超幾何分布は有限母集団から一定個数を非復元で選んだときの標識要素数を扱う。ポアソン分布は一定の範囲内で起こる事象数を扱う。したがって幾何分布は負の二項分布と無関係な別物ではなく、k=1の特別な場合と整理できる。

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正解は「2次元の平均ベクトルと分散共分散行列」である。2変量正規分布は2つの確率変数からなる正規分布であり、各変数の中心を表す2次元の平均ベクトルと、各変数の分散および2変数間の共分散をまとめた分散共分散行列で表される。標本サイズと中央値、自由度とp値、最頻値と四分位数はいずれもデータや推測結果の一部を表すことはできるが、2変量正規分布そのものを規定する組み合わせではない。2変量では各変数のばらつきだけでなく、2変数が一緒に変動する関係も必要になる。

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正解は「0になる」である。2変量正規分布における相関係数は、2変数の共分散をそれぞれの標準偏差の積で割って求める。設問では分母となる標準偏差の積は正で、分子の共分散が0なので、相関係数も0になる。相関係数が1になるのは共分散が標準偏差の積と一致する場合であり、共分散0からは導けない。負の相関には負の共分散が必要である。相関係数の定義に標本サイズは直接必要なく、与えられた共分散と標準偏差で判断できる。公式の分子と分母を別々に確認すれば、符号や大きさを取り違えずに済む。

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正解は「0.125」である。3回目に初めて成功するには、1回目と2回目が失敗し、3回目が成功する必要がある。成功確率p=0.5、試行回数t=3を式へ入れると、(1-0.5)^(3-1)×0.5＝0.5²×0.5＝0.125となる。0.250は失敗を1回分しか掛けない値、0.375は式に対応しない3×0.125、0.500は3回目の成功確率だけを残して前2回の失敗条件を無視した値である。最初の成功という停止条件から、先行する2回の失敗も同時に満たす確率を掛ける。

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正解は「0.1875」である。4回目が2回目の成功になるには、最初の3回に成功がちょうど1回あり、4回目が成功する。式へx=4、k=2、p=0.5を入れると、C(3,1)×0.5²×0.5²＝3×0.0625＝0.1875となる。0.0625は最初の3回のどこが成功かという3通りを掛けていない値、0.1250は組合せ数を2と誤った値、0.2500は4回中2回成功する一部の順序条件を区別していない値である。最後の試行を成功に固定し、それ以前の成功位置を組合せで数える。

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正解は「0.6」である。標識付き2個から1個を選ぶ方法はC(2,1)=2通り、標識なし3個から1個を選ぶ方法はC(3,1)=3通りなので、条件に合う組合せは2×3＝6通りである。5個から順序を区別せず2個を選ぶ全組合せはC(5,2)=10通りだから、確率は6÷10＝0.6となる。0.2は標識付きの割合に関する一部だけ、0.4は母集団に占める標識付きの割合2/5、1.0は標識付き0個・1個・2個という全場合を合計した値である。非復元抽出では全組合せを分母に置き、標識付き1個・標識なし1個だけを分子に置く。

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正解は「0.3」である。区間[0,10]の一様分布では確率密度が一定なので、ある部分区間へ入る確率はその区間の長さが全体の長さに占める割合で求められる。全区間の長さは10-0＝10、2分以上5分以下の部分区間は5-2＝3だから、確率は3÷10＝0.3となる。0.2は下端2を10で割った値、0.5は上端5を10で割った値で、いずれも部分区間の長さ3を使っていない。0.7は対象外の区間[0,2)と(5,10]の合計長さ7が占める余事象の確率である。連続分布では端点一点の確率は0なので、端点を含むかどうかでこの区間確率は変わらない。

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正解は「0.368」である。指数分布の生存関数へx=2、β=2を代入すると、S(2)=exp(-2/2)=exp(-1)≒0.3679となるため、約0.368である。0.135はexp(-2)で、尺度β=2による除算を省いて指数を-2とした値である。0.500は2/4など時間の単純な比を確率とした値で、指数関数を使っていない。0.632は累積分布関数F(2)=1-exp(-1)の値であり、2時間以下となる確率を表す。本問は2時間を超える確率なので、累積確率ではなく生存確率exp(-1)を選ぶ。尺度β=2は平均待ち時間でもあり、平均を超える確率が約36.8%となる指数分布の性質とも一致する。

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正解は「0.2707」である。x=2、λ=2を確率質量関数へ代入すると、P(X=2)=e^-2×2²/2!=e^-2×4/2=2e^-2となる。問題で与えたe^-2≈0.135335を使えば、2×0.135335=0.270670であり、小数第4位までで約0.2707となる。0.1353はe^-2だけを使いλ²/2!=2を掛けていない値、0.5413はe^-2×2²まで計算して2!で割っていない値、2.0000は平均発生数λそのもので確率ではない。ポアソン分布のλは所定区間の平均回数を表すが、個別の発生回数の確率はe^-λ、λ^x、x!をすべて含む式で求める。既存の用途・期待値識別から一段進み、求める回数xと平均λを区別して代入することが要点である。

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正解は「0.50」である。相関係数は共分散を2変数の標準偏差の積で割って求めるため、3÷(2×3)=3÷6=0.50となる。1.00は共分散3をYの標準偏差3だけで割った値、1.50は共分散3をXの標準偏差2だけで割った値、6.00は2つの標準偏差を掛けただけの値である。共分散は測定単位の影響を受けるが、両変数の標準偏差の積で割った相関係数は-1から1の範囲に標準化される。本問では共分散が正なので相関係数も正となり、0.50は範囲条件にも合う。

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正解は「0.375」である。4回中2回が成功する並び方はC(4,2)=6通りある。特定の一つの並び、例えば成功・成功・失敗・失敗が起こる確率は0.5²×(1-0.5)²=0.5⁴=1/16=0.0625である。したがって6通りを合わせ、P(X=2)=6×0.0625=0.375となる。0.0625は特定の一つの並びだけ、0.25はp²だけを計算して失敗2回の確率と組合せ係数を省いた値、0.50は成功確率pそのものである。二項分布で「ちょうどx回」を求めるときは、一つの成功・失敗順序の確率だけでなく、その順序が何通りあるかを組合せ係数で数える。

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正解は「(6, 4.2, 約2.05)」である。二項分布の期待値はnpなので20×0.3=6、分散はnp(1-p)なので20×0.3×0.7=4.2となる。標準偏差は分散の正の平方根だから√4.2≒2.049で、約2.05である。(6, 4.2, 4.2)は分散をそのまま標準偏差にしている。(6, 6.0, 約2.45)は期待値npを分散にも使い、その平方根√6を標準偏差にしている。(0.3, 0.21, 約0.46)は20回の成功回数ではなく、1回のベルヌーイ試行の期待値p、分散p(1-p)、標準偏差だけを求めた組である。成功回数の中心を表す期待値、平方単位のばらつきを表す分散、元の成功回数と同じ単位へ戻した標準偏差を順に区別する。

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