ベクトルの内積とは

まず押さえる結論

ベクトルの内積は、DS検定の「第3章 数学的基礎」に出てくる用語です。見分けの要点は、ベクトルの内積は二つのベクトルから一つの値を得る演算です。行列の積は、(n,k)と(k,m)の行列から(n,m)の形の行列を返し、各要素は左の行列の行と右の行列の列の積和で求めます。内積は一つの値を返すので、形を保つ演算とは区別します。

ベクトルの内積の具体例と、問題文で見る箇所・隣接概念との境界

対応する成分同士を掛けて足し合わせ、二つのベクトルの関係を一つの値にまとめる演算として捉える

ベクトルの内積は、対応する成分同士を掛けて足し合わせ、二つのベクトルの関係を一つの値で表す演算です。結果はベクトルではなく一つの値になります。データサイエンティスト協会のスキルチェックリストでは、内積の計算方法を理解し、線形式をベクトルの内積で表現できることが、★1つ星の項目に置かれています。

問題文で見る箇所

「対応する成分同士を掛ける」「足し合わせる」「一つの値」という記述があれば、ベクトルの内積を候補にします。計算を求める設問では、成分の積を順に出してから合計し、線形式をベクトルの内積で書き直せるかも見ます。

隣接概念との境界

ベクトルの内積は二つのベクトルから一つの値を得る演算です。行列の積は、(n,k)と(k,m)の行列から(n,m)の形の行列を返し、各要素は左の行列の行と右の行列の列の積和で求めます。内積は一つの値を返すので、形を保つ演算とは区別します。

誤答しやすい選択肢

• ベクトルの内積を、成分同士を足し合わせた後に掛ける演算として説明する。順序が逆で、対応する成分同士をまず掛けてから足し合わせます。
• ベクトルの内積の結果を、元と同じ長さのベクトルとして説明する。内積の結果は一つの値です。
• ベクトルの内積を、行列の積と同じく行列を返す演算として説明する。行列の積は行と列の積和を並べた行列を返し、二つのベクトルの内積は一つの値です。

4段階の判断手順

1. 01二つのベクトルの成分数がそろっていることを確認する。
2. 02対応する成分同士を掛ける。
3. 03掛けた結果をすべて足し合わせて一つの値にする。
4. 04線形式が出てきたら、係数のベクトルと変数のベクトルの内積として書き直せるか見直す。

到達条件: ベクトルの内積を、対応する成分同士の積の和として計算し、結果が一つの値であることと、行列の積との違いを説明できる。

試験での問われ方

誤答しやすいポイント

「第3章 数学的基礎」の問題で、取り違えやすい組み合わせです。

• 偏微分と全微分、勾配の意味を混同する。多変数関数における偏微分は他の変数を固定して1変数について微分すること。
• 局所最適解と大域最適解の違い。停留点が必ずしも極値になるとは限らないことを理解していないと選択肢を誤る。
• 固有値・固有ベクトルの意味を、単なる計算手順としてのみ覚えてしまい、線形変換における役割を説明できない。

関連する確認問題

同じ章で確認したい用語