用語比較
SVMの線形カーネルとRBFカーネルの違い｜類似度の式と、γ・Cの役割を数値例で比較（G検定）
SVM（サポートベクターマシン）のカーネルは、2つのデータ点がどれだけ似ているかを測る関数です。線形カーネルは内積、RBFカーネルは距離が離れるほど小さくなる値で類似度を測ります。
scikit-learn公式ドキュメントは、カーネルとして線形、多項式、RBF、シグモイドを挙げています。RBFカーネルの式は exp(−γ‖x−x'‖²)（γ>0）です。
G検定の機械学習の「代表的な手法」にはSVMが出ます。このページでは、2つのカーネルの式を数値で計算し、調整項目のCとγが何を決めるのかを確かめます。
この記事の根拠と出典
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結論
線形カーネル
2点の内積 ⟨x,x'⟩ を類似度にする。決定境界は直線（高次元では平面）になる。
RBFカーネル
exp(−γ‖x−x'‖²)。2点が近いと1に近く、離れると0に近づく。
CとγのRBFでの役割
Cは誤分類と決定面の単純さのトレードオフ。γは1つの訓練例の影響の及ぶ範囲を決め、大きいほど近い例にしか影響しない。
違いを表で確認
| 比較軸 | 線形カーネル | RBFカーネル |
|---|---|---|
| 類似度の式 | 線形カーネル：内積 ⟨x,x'⟩ | RBFカーネル：exp(−γ‖x−x'‖²)（γ>0） |
| 値の動き | 線形カーネル：向きと大きさで決まり、距離とは単純に対応しない | RBFカーネル：距離が0なら1、離れるほど0に近づく |
| 主な調整項目 | 線形カーネル：C | RBFカーネル：Cとγの2つ |
| 決定境界の形 | 線形カーネル：直線（超平面） | RBFカーネル：曲がった境界も作れる |
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試験範囲を通して読むときの1冊です。読んだ章は、このサイトの章別問題で確かめられます。
どこで迷っているかを切り分ける
「カーネル」が何をする関数なのか分からない人
2つのデータ点の類似度を返す関数です。SVMはこの類似度を使って、決定境界を作ります。
γを大きくするとどうなるか、逆に覚えてしまう人
公式ドキュメントは、γは1つの訓練例の影響の大きさを決め、γが大きいほど、影響を受けるには他の例が近くにある必要があると述べています。大きいほど「狭い範囲だけ」に効きます。
Cとγのどちらが何の調整か混ざる人
Cはどのカーネルにも共通で、誤分類と決定面の単純さのトレードオフです。γはRBFのカーネルの式の中にあり、類似度の減り方を決めます。
具体例で使い分ける
例 1
線形カーネル：内積で類似度を出す
2点 x=(1,2)、x'=(3,1) です（架空の値）。
- 内積は 1×3+2×1=3+2=5 です。
結論: 線形カーネルの値は5です。点の座標の大きさが変わると、値も変わります。
例 2
RBFカーネル：γ=1で、距離の2乗が1と4の点を比べる
基準の点 (0,0) に対し、点 (1,0) は距離の2乗が1、点 (2,0) は距離の2乗が4です。
- 距離の2乗が1の点：exp(−1×1)=exp(−1)≒0.368です。
- 距離の2乗が4の点：exp(−1×4)=exp(−4)≒0.018です。
結論: 距離が2倍の点の類似度は、0.368から0.018へ大きく下がります。距離0の点は、exp(0)=1です。
例 3
γを0.5にすると、減り方がゆるやかになる
同じ2点を、γ=0.5で計算します。
- 距離の2乗が1の点：exp(−0.5×1)=exp(−0.5)≒0.607です。
- 距離の2乗が4の点：exp(−0.5×4)=exp(−2)≒0.135です。
結論: γが小さいと、離れた点にも類似度が残ります（0.018→0.135）。γが大きいほど、近い点にしか影響が及びません。
問題文から答えを選ぶ手順
- 1
カーネルの式を見る
内積なら線形カーネル、exp(−γ‖x−x'‖²)ならRBFカーネルです。
- 2
問われているパラメータを結びつける
Cは全カーネル共通の、誤分類と単純さのトレードオフです。γはRBFで類似度の減り方を決めます。
- 3
大小の向きを確かめる
Cが低いと決定面は滑らかに、高いとすべての訓練例を正しく分けようとします。γが大きいほど、近い例にしか影響しません。
試験での見分け方
- 1線形カーネルは内積、RBFカーネルはexp(−γ‖x−x'‖²)。
- 2RBFカーネルの値は、距離0で1、離れるほど0に近づく。
- 3Cが低いと決定面は滑らか、高いとすべての訓練例を正しく分けようとする。
- 4γが大きいほど、影響を受けるには他の例が近くにある必要がある。
誤答しやすい選択肢
γを大きくすると影響の範囲が広がると覚える
修正: 逆です。γが大きいほど、近い例にしか影響しません。例の計算では、γが1のとき距離の2乗が4の点の値は0.018、0.5のときは0.135です。
RBFカーネルの値が距離とともに大きくなると考える
修正: 式にマイナスが付いているので、距離が大きいほど値は小さくなります。距離0で最大の1です。
Cをカーネルごとの別のパラメータと考える
修正: 公式ドキュメントは、Cは全てのSVMカーネルに共通だと述べています。
線形カーネルでも曲がった境界が作れると考える
修正: 線形カーネルの境界は直線（超平面）です。曲がった境界が必要なときは、RBFなどの非線形カーネルを使います。
確認問題
Q1x=(1,2)、x'=(3,1)の線形カーネルの値は？
答え: 5
1×3+2×1=5です。
Q2距離0の2点のRBFカーネルの値は？
答え: 1
exp(0)=1です。
Q3γ=1、距離の2乗が1のとき、RBFカーネルの値は？
答え: 約0.368
exp(−1)です。
Q4γを大きくすると、影響を受けるために他の例はどうなる必要がある？
答え: より近くにある必要がある
γが大きいほど、1つの訓練例の影響は狭い範囲に限られます。
Q5Cが低いと、決定面はどうなる？
答え: 滑らかになる
高いCは、すべての訓練例を正しく分類しようとします。
到達チェック
- 線形カーネルとRBFカーネルの式を書ける
- RBFカーネルの値が距離とともに下がる向きを説明できる
- γが大きいときの影響範囲の向きを間違えない
- Cがカーネル共通のパラメータだと言える
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よくある質問
Q線形カーネルとRBFカーネルの違いは？
線形カーネルは内積、RBFカーネルはexp(−γ‖x−x'‖²)で2点の類似度を測ります。RBFは距離が離れるほど値が0に近づきます。
QSVMのγは何を決める？
RBFカーネルで、1つの訓練例の影響の及ぶ範囲です。γが大きいほど、近い例にしか影響しません。
QSVMのCは何を決める？
誤分類と決定面の単純さのトレードオフです。低いCは決定面を滑らかにし、高いCはすべての訓練例を正しく分類しようとします。
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執筆: ミナト編集部（運営者情報を見る）