DS検定 第4章 統計・推定・検定 予想問題と解説

正解は「不偏分散」である。標本から母分散を推定する場合、単純にサンプルサイズnで割ると母分散を小さめに見積もる偏りが生じる。この偏りを補正するためにn-1で割って求めた値が不偏分散である。「標本分散」はnで割る計算であり、n-1で割る値とは分母が異なる。「標準誤差」は推定量そのもののばらつきを表す指標であり、n-1で割って求める分散の値そのものではない。「標準偏差」は分散の平方根であり、n-1で割った時点の値ではなく、その後に平方根を取った値を指す。

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正解は「相関係数が大きくても因果関係を示すとは限らない」である。相関は2つの変数が一緒に動く傾向を表すにすぎず、交絡因子の影響や選択バイアスによって、因果関係がなくても相関係数が大きくなることがある。「相関係数が大きければ必ず因果関係がある」は、交絡因子や選択バイアスの可能性を無視した言い切りである。「相関関係と因果関係は同じ意味である」は、一方が他方を引き起こすかどうかという因果の要素を相関の定義に含めてしまっている。「因果関係があれば相関係数は必ず1になる」は、実際の因果関係は他の要因の影響も受けるため、相関係数が必ず1になるとは限らない。

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正解は「帰無仮説のもとで観測結果以上に極端な結果が得られる確率」である。p値は、帰無仮説が正しいと仮定したうえで、今回の観測結果と同じかそれ以上に極端な結果がどの程度起こり得るかを表す確率であり、確率が指し示す対象は観測結果側の極端さである。「帰無仮説が正しい確率」と「対立仮説が正しい確率」は、いずれも仮説そのものの真偽に確率を割り当てる主張であり、p値が観測結果側の確率を表すという定義とは対象が異なる点で誤りである。「信頼区間」は点推定に幅を持たせた区間推定の結果であり、確率の値そのものを示すp値とは示す情報の形が異なる。

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正解は「第1種の過誤」である。第1種の過誤は、本当は正しい帰無仮説を誤って棄却してしまう誤りを指す。これに対して第2種の過誤は、誤っている帰無仮説を棄却できずに受け入れてしまう誤りであり、設問が問う向きとは逆である。「標本誤差」は標本を抽出する際に偶然生じるばらつきであり、「サンプリングバイアス」は抽出方法が偏ることで生じる系統的な誤差であって、いずれも帰無仮説を棄却するかどうかという検定の判断の誤りを指す語ではない。検定では、正しい帰無仮説を棄却する誤りと誤った帰無仮説を棄却できない誤りのどちらを避けたいかを意識して、有意水準の設定を考える。

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正解は「共変量（交絡因子）」である。因果効果を推定したいとき、原因側の変数と結果側の変数の両方に影響する第三の変数を無視すると、見かけの関係を因果と誤解しやすい。設問では「双方に影響を与える変数」という条件が決め手になる。処置群と対照群は比較するグループ、対立仮説は検定で扱う仮説であり、原因側と結果側の双方へ影響する第三の変数を指さない。したがって共変量（交絡因子）を選ぶ。比較する集団と、双方へ影響する変数を混同しないことが重要である。

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正解は「ある事象が起きたという条件のもとで、別の事象が起きる確率を扱う」である。条件付き確率は、たとえば事象Aが起きたという前提のもとで事象Bが起きる確率を考える概念である。「確率変数の平均だけを扱う」は期待値の説明であり、条件をつけた確率そのものを表す概念ではない。「帰無仮説を棄却するかどうかだけを扱う」は統計的仮説検定の説明であり、条件付き確率とは別の枠組みである。「データベースの正規化だけを扱う」はテーブル構造を整理するデータエンジニアリングの話であり、確率の概念とは無関係である。

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正解は「有意水準」である。有意水準は、p値と比較して帰無仮説を棄却するかを判断する基準として使われる。決定係数は回帰モデルの当てはまり、特異度は分類モデルで陰性を正しく陰性と判定した割合、第三正規化はデータベース設計の概念であり、検定の棄却基準ではない。設問中の「帰無仮説」と「棄却する基準」を対にして、推定・検定の用語を探す。モデル評価やデータ構造の指標を除外し、有意水準を選ぶ。p値と比較する値を問う表現も特に重要な判断の手掛かりになる。

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偏差平方和をn-1で割った値が、母分散の偏りのない推定値である不偏分散にあたる。正解は「不偏分散」である。標本から母分散を推定するとき、nで割ると母分散を小さめに見積もる偏りが生じるため、n-1で割って補正する。「標本分散」はnで割る計算で、分母が異なる。「母分散」は母集団そのものの分散で、標本から直接得る値ではない。「標準偏差」は分散の平方根であり、n-1で割った時点の値ではない。したがって、標本から母分散を偏りなく推定するために、偏差平方和をn-1で割って得る値は、不偏分散である。

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強い相関が見つかった段階では、広告費と売上が一緒に動くことしか言えない。正解は「相関係数が大きくても因果関係を示すとは限らない」である。相関は一緒に動く傾向を表すだけで、交絡因子の影響や、売上が広告費の予算を左右するような逆向きの関係によっても、強い相関は生じうる。「広告費を増やせば必ず増える」は、相関から効果の保証まで飛躍している。「他の要因を排除できる」は、交絡因子の可能性を無視している。「逆向きの因果は起こらない」は、相関係数が向きを区別しないことと食い違う。したがって、因果の判断は追加調査を待つ必要がある。

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帰無仮説のもとで観測値以上に極端な結果が出る確率は、p値の定義そのものである。正解は「帰無仮説のもとで観測結果以上に極端な結果が得られる確率」である。p値は、帰無仮説が正しいと仮定したうえで、観測結果と同じかそれ以上に極端な結果が起こる確率を表す。「帰無仮説が正しい確率」は、仮説そのものの真偽に確率を割り当てており、p値の意味とは異なる。「あらかじめ定める棄却の基準の値」は有意水準であり、p値と比べる側の値である。「母平均が含まれると見込まれる範囲」は信頼区間であり、確率の値ではない。したがって、報告した値はp値である。

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効果がないのに効果があると結論づけた誤りは、正しい帰無仮説を誤って棄却した誤りにあたる。正解は「第1種の過誤」である。第1種の過誤は、本当は正しい帰無仮説を棄却してしまう誤りを指す。第2種の過誤は、誤っている帰無仮説を棄却できない誤りで、向きが逆である。「有意水準」は、帰無仮説を棄却する基準として事前に定める値であり、誤りの名称ではない。「サンプリングバイアス」は標本抽出の偏りによる誤差で、検定の結論の誤りとは別の概念である。したがって、この事例の誤りは第1種の過誤である。

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気温は、飲料の販売数と来店者数の両方に影響する第三の変数なので、因果効果を調べるときは共変量（交絡因子）として扱う。正解は「共変量（交絡因子）」である。因果効果を推定したいとき、原因側と結果側の両方に影響する第三の変数を無視すると、施策の効果と気温の影響が混ざって見える。「処置群」は施策を実施した側、「対照群」は実施しない比較側のグループであり、変数ではない。「目的変数」は効果を測りたい対象であり、結果を左右する別の変数とは区別される。したがって、気温は共変量（交絡因子）として扱う。

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Aを購入済みという条件のもとでBを購入する確率は、条件付き確率である。正解は「ある事象が起きたという条件のもとで、別の事象が起きる確率を扱う」である。条件付き確率は、ある事象が起きたという前提で、別の事象が起きる確率を考える。「Aを購入した人の割合そのもの」は、条件を使わずAの確率だけを見ている。「条件を付けずに両方購入する割合」は、条件のもとで見る確率とは別のものである。「Aを購入しなかったという条件」は、設問の条件と向きが逆である。したがって、設問の確率は条件付き確率である。

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p値と比べて棄却を決める基準は、検定を行う前に決めておく値である。正解は「有意水準」である。有意水準は、p値と比較して帰無仮説を棄却するかを判断する基準として事前に定める。「信頼区間」は区間推定の結果、「不偏分散」は標本から母分散を推定する値、「両側検定」は差の向きを問わない検定の形式であり、いずれも棄却の基準として事前に定める値ではない。したがって、p値と比較して帰無仮説を棄却するか決める基準として、検定を行う前に定めておくものは、有意水準である。

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散らばりを元の点数と同じ単位で表したいので、単位が元に戻る散らばりの指標が必要になる。正解は「標準偏差」である。標準偏差は分散の平方根で、散らばりの大きさを元のデータと同じ単位で表す。「分散」は偏差を2乗して平均した値で、単位が2乗になるため元の点数とは単位が合わない。「平均」と「中央値」はデータの中心を表す値であり、散らばりの大きさを表す指標ではない。したがって、点数データの散らばりを元の点数と同じ単位で表したいという設問の条件に合う指標は、標準偏差である。

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点が右下がりの直線にそろって並ぶので、強い負の相関であり、相関係数は−1に近い値になる。正解は「−1に近い値」である。ピアソンの相関係数は、−1以上+1以下の値をとり、右上がりの直線関係が強いほど+1に、右下がりの直線関係が強いほど−1に近づく。「+1に近い値」は右上がりの場合で向きが逆である。「0に近い値」は直線的な関係がほとんどない場合である。「+1を大きく超える値」は、相関係数がとりうる範囲を超えている。したがって、設問の値は−1に近い値である。

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p値と事前に定めた有意水準を比べて判断する。正解は「帰無仮説を棄却する」である。p値は0.03で、有意水準の0.05より小さいので、観測結果は帰無仮説のもとでは起こりにくいと判断し、帰無仮説を棄却する。「棄却せず正しいと証明されたとする」は、p値が有意水準より小さい事例と食い違い、棄却しない場合でも正しさの証明にはならない。「対立仮説が正しい確率は97%」は、p値を仮説の確率と取り違えている。「有意水準を変更してやり直す」は、結果を見てから基準を動かす誤りである。したがって、帰無仮説は棄却する。

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効果があるのに、効果がないと結論づけた誤りは、誤っている帰無仮説を棄却できなかった誤りにあたる。正解は「第2種の過誤」である。第2種の過誤は、本当は誤っている帰無仮説を棄却できず、効果がないと結論してしまう誤りを指す。「第1種の過誤」は、効果がないのに効果ありと結論する誤りで、向きが逆である。「標本誤差」は標本の一部を調べることで生じる偶然のずれ、「有意水準」は棄却の基準として事前に定める値であり、どちらも結論の誤りの名称ではない。したがって、この事例の誤りは第2種の過誤である。

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希望者だけを処置群にしたことで、元々健康意識の高い人が集まっている。正解は「選択バイアス」である。選択バイアスは、対象者の選ばれ方に偏りがあるために、施策の効果とは別の違いが結果に混ざる問題である。「無作為化」は偏りを減らす方法であり、この事例では行われていない。「対照群」は比較のためのグループ、「点推定」は母集団の値を1つの値で推定する方法で、どちらも偏りの原因の名称ではない。したがって、希望者だけを処置群にしたことで元々健康意識の高い人が集まり、結果が偏る原因として最も適切なものは、選択バイアスである。

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独立な事象が同時に起こる確率は、それぞれの確率の積である。正解は「Aの確率とBの確率の積」である。事象が独立とは、一方が起こったかどうかがもう一方の起こりやすさに影響しないことで、このとき同時に起こる確率はそれぞれの確率を掛け合わせて求める。「和」は同時ではなくいずれかが起こる場合に近い値、「差」と「比」は同時に起こる確率を表す演算ではない。したがって、一方が起こったかどうかがもう一方の起こりやすさに影響しない、独立な事象AとBが同時に起こる確率は、Aの確率とBの確率の積である。

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母平均がありそうな範囲を幅をもたせて推定するので、範囲で示す推定の方法が必要になる。正解は「区間推定」である。区間推定は、母平均などの値がありそうな範囲を幅をもたせて推定する方法で、得られる区間を信頼区間という。「点推定」は値を1つで示す方法で、幅をもたせる条件に合わない。「帰無仮説」と「対立仮説」は検定で置く仮説であり、推定の方法ではない。したがって、標本のデータから母平均がありそうな範囲を、幅をもたせて推定したいという設問の条件に合う方法は、区間推定である。

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誤っている説明を選ぶので、分散と標準偏差の定義と食い違うものを探す。正解は「標準偏差は、分散を2乗した値である」である。標準偏差は分散の平方根であり、分散を2乗した値ではない。不偏分散は偏差平方和をn-1で割った値、標本分散はnで割った値という定義で、どちらも正しい説明である。標準偏差を分散の平方根とする説明も、定義どおりである。したがって、標準偏差を分散の2乗とする説明が、設問の誤った説明である。平方根をとることで、散らばりを元のデータと同じ単位で表せる。

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誤っている説明を選ぶので、相関から因果を断定する説明に注意する。正解は「相関係数が1に近ければ、一方が他方の原因であると確定できる」である。相関係数は、2つの変数が一緒に動く傾向の強さを表すだけで、因果の有無は示さない。交絡因子の影響や逆向きの関係によっても、強い相関は現れる。相関係数が−1以上+1以下の値をとること、交絡因子で見かけの相関が生じることは、正しい説明である。したがって、相関係数が1に近ければ因果が確定するとする説明が、設問の誤った説明である。

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誤っている説明を選ぶので、p値の定義と食い違うものを探す。正解は「p値は、帰無仮説が正しい確率を表す」である。p値は、帰無仮説が正しいと仮定したとき、観測結果以上に極端な結果が起こる確率であり、帰無仮説そのものが正しい確率ではない。有意水準を検定の前に定めること、p値が有意水準より小さいときに帰無仮説を棄却することは、検定の手順に合う正しい説明である。p値は仮説の真偽に確率を割り当てるものではなく、観測結果がどれだけ極端かを帰無仮説のもとで測る値である。したがって、p値を帰無仮説が正しい確率とする説明が、設問の誤った説明である。

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誤っている説明を選ぶので、2つの過誤の向きを取り違えた説明を探す。正解は「第1種の過誤は、効果があるのに、効果がないと結論する誤りである」である。効果があるのに効果がないと結論する誤りは、誤っている帰無仮説を棄却できなかった第2種の過誤である。第1種の過誤は、正しい帰無仮説を誤って棄却する誤りで、効果がないのに効果ありと結論する。有意水準は、第1種の過誤を起こす確率の上限にあたる。したがって、第1種の過誤を効果の見逃しとする説明が、設問の誤った説明である。

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誤っている説明を選ぶので、グループの分け方に注意する。正解は「処置群と対照群は、対象者の希望に合わせて分けるのが望ましい」である。希望に合わせて分けると、元々の関心や状態の違いがグループ間で偏り、選択バイアスが生じて効果の比較が歪む。処置群は施策を実施したグループ、対照群は比較のために施策を実施しないグループ、交絡因子は原因と結果の両方に影響する変数であり、いずれも正しい説明である。したがって、希望で分けるのが望ましいとする説明が、設問の誤った説明である。

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誤っている説明を選ぶので、条件付き確率の定義と食い違うものを探す。正解は「条件付き確率は、条件を付けずに、全体に対して事象が起こる割合である」である。条件付き確率は、ある事象が起きたという条件のもとで、別の事象が起きる確率で、条件を付けない全体に対する割合は通常の確率である。条件付き確率の定義、独立な事象の同時確率がそれぞれの確率の積になること、ベイズの定理が条件付き確率を使って確率を更新する考え方であることは、正しい説明である。したがって、条件を付けない割合とする説明が、設問の誤った説明である。

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誤っている説明を選ぶので、推定の方法の取り違えを探す。正解は「区間推定は、母平均などを1つの値だけで推定する方法である」である。1つの値で推定するのは点推定で、区間推定は、値がありそうな範囲を幅をもたせて推定する方法である。点推定の説明、信頼区間が区間推定の結果として得られる区間であること、帰無仮説が検定で最初に置く仮説であることは、正しい説明である。区間推定の結果として得られる区間が信頼区間で、値を1つで示す点推定とは、結果の示し方が異なる。したがって、区間推定に点推定の内容を当てはめた説明が、設問の誤った説明である。

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正解は「処置群」である。因果推論では、効果を測定したい施策や介入を意図的に実施する対象のグループを「処置群」と呼び、施策を実施しない比較対象のグループである「対照群」との結果の差から効果を推定する。「対照群」は処置を受けないグループを指し、処置群とは逆の役割である。「共変量」は処置群・対照群双方の結果に影響しうる、処置以外の説明変数を指す。「交絡因子」は処置の有無と結果の両方に影響を及ぼし、見かけ上の因果関係を歪める要因を指す。したがって、施策を意図的に実施する対象のグループは「処置群」である。

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正解は「交絡因子」である。交絡因子は処置の有無と結果の両方に影響するため、処置だけが結果を変えたように見せ、因果関係の推定を歪めるおそれがある。処置群は施策を受ける対象のグループ、対照群は受けない比較対象のグループであり、いずれも要因の名称ではない。共変量は結果に関係し得る説明変数だが、設問のように処置と結果の両方に影響して見かけ上の関係を歪める点を直接表す語は交絡因子である。推定では、二つの結果が同時に変わったことだけで因果関係を判断しない姿勢が必要になる。したがって、確認すべき要因は交絡因子である。

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正解は「選択バイアス」である。選択バイアスは、処置を受ける対象と受けない対象の選ばれ方に偏りがあり、開始前から両者が同じ条件ではないことで比較が歪む問題である。交絡因子は処置の有無と結果の両方に影響する要因を指す。処置群と対照群は比較する二つのグループの名称であり、比較が歪む原因の名称ではない。因果推論では、施策後の結果だけを見る前に、誰がどのような条件で施策を受けたかを確認する必要がある。開始前の違いを施策の効果だと扱わないことが重要である。したがって、設問の状況は選択バイアスである。

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正解は「比例尺度」である。比例尺度はゼロが量の不在を表し、数値の差だけでなく比にも意味がある尺度である。間隔尺度は差を比較できるが、ゼロが量の不在を表すとは限らないため、二倍といった比の解釈には注意が必要になる。順序尺度は大小や順位を表すが、隣り合う値の差が等しいとは限らない。名義尺度は分類のための区分であり、数値の大小や比を扱わない。設問では、順位が付くかではなく、ゼロ点と二倍という比の解釈が可能かを問うている。したがって比例尺度を選ぶ。

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正解は「第1種の過誤」である。第1種の過誤は、実際には帰無仮説が正しいにもかかわらず、帰無仮説を棄却してしまう誤りを指す。第2種の過誤は、実際には帰無仮説が正しくない場合に棄却できない誤りであり、真の状態と判断の組み合わせが逆である。有意水準は帰無仮説を棄却する際の判断に関わる基準、p値は観測された結果に関わる値であって、誤りそのものの名称ではない。検定では、帰無仮説が実際に正しいかと、棄却したかを二つの軸として整理する。したがって第1種の過誤を選ぶ。

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正解は「対照群」である。因果推論では、検証したい処置を受けるグループを処置群、処置を受けず比較の基準となるグループを対照群という。設問では新方式が処置に当たり、従来方式を使う顧客はその処置を受けないため対照群である。共変量は結果に関係し得る観測された属性、交絡因子は処置の有無と結果の両方に影響して効果の推定をゆがめる要因であり、どちらも顧客グループの役割名ではない。効果を比べる問題では、施策を受けた側か、受けなかった比較基準側かを先に分けて判断する。

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正解は「点推定」である。点推定は、母集団について未知である母数を、標本から計算した一つの値で推定する方法である。設問では標本の平均購入額を使い、全利用者の平均購入額を単一の値として見積もるため点推定に当たる。区間推定は母数を一つの値ではなく、信頼区間のような範囲で示す方法である。仮説検定は差や効果がないという仮説を棄却できるか判断する手続きであり、母数を見積もる方法ではない。標準化はデータの尺度をそろえる前処理である。答えを一点で出すのか、幅を持つ範囲で出すのかを最初に区別すると判断できる。

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正解は「t検定」である。t検定は、母分散が未知のときに標本から求めたt統計量をもとに、母平均などの差を検定する方法である。設問は平均得点の差を扱い、母分散が分からないと明示しているためt検定を選ぶ。z検定は母分散が既知、または標本サイズが十分大きいときに標準正規分布をもとに母平均などの差を検定する方法である。カイ二乗検定はカテゴリの度数や独立性に関わる検定、主成分分析は多変量データを少数の成分で要約する手法であり、平均得点の差を母分散未知で検定する条件とは異なる。平均の差か、データのカテゴリか、次元の要約かを分けて判断する。

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正解は「二項分布」である。二項分布は、成功か失敗かの二つの結果しか起こらない試行を独立にn回繰り返したとき、成功回数が従う確率分布である。設問では各広告表示がクリックか非クリックかの二択で、同じ成功確率の試行を20回独立に繰り返し、クリック回数を数えるため二項分布に当たる。正規分布は連続的な値の分布を扱う代表例、ポアソン分布は一定時間・一定範囲に起こる事象の回数を扱う代表例、一様分布は各値が同程度に起こる分布である。試行が二択か、回数を固定しているか、各試行が独立かという三条件をそろえて確認する。

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正解は「順列」である。順列は、異なるものからいくつかを選び、並べる順序も区別して場合の数を数える考え方である。設問では同じ3人を選んでも、誰が1番目・2番目・3番目になるかによって別の発表順として数えるため、順列を使う。組合せは選ばれた3人が同じなら順序を区別せず一通りと数える。期待値は確率変数の平均的な値、中央値は並べたデータの中央の値であり、選び方と並べ方の場合の数ではない。選んだ要素が同じでも並び順を別扱いするかを最初に確認する。

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正解は「最頻値」である。最頻値は、データの中で最も出現回数が多い値を表す。設問では販売件数が最大の靴のサイズ、つまり観測されたサイズのうち最も頻繁に現れた値を求めているため最頻値を使う。中央値は値を順に並べた中央、平均は値の合計を個数で割った代表値、標準偏差は値のばらつきを表す指標である。靴のサイズを数値として足し合わせることより、各サイズが何回現れたかという度数を比較する場面である。「最も多く」という表現を、中央や平均ではなく出現回数へ結び付ける。

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